L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux liens entre le son, la musique et les mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces émissions, à lire ci-dessous.
En écoutant toutes les fréquences produites par un tambour, peut-on retrouver sa forme ? Étienne Ghys raconte l’histoire d’une question célèbre posée par le mathématicien Mark Kac dans les années 1960.
Des fréquences de Bessel aux exemples de Milnor, Vignéras, Gordon, Webb et Wolpert, ce problème relie géométrie, acoustique et problèmes inverses — avec des applications qui vont bien au-delà de la musique.
Dans les années 1960, le mathématicien Mark Kac écrivait un article au titre énigmatique : « Peut-on entendre la forme d’un tambour ? »
En écoutant le son d’un tambour, peut-on déterminer ses dimensions et sa forme ? Est-il circulaire, ovale, peut-être carré, ou encore plus compliqué ? C’est l’histoire de la résolution de ce problème que je voudrais vous raconter.
Fondamentale et harmoniques
Un instrument de musique émet un son formé d’une fréquence fondamentale à laquelle s’ajoute une infinité d’harmoniques de fréquences plus élevées. Ce sont ces harmoniques qui constituent le timbre du son.
Dans le cas le plus simple d’une corde de guitare, les fréquences des harmoniques sont simplement les multiples entiers de la fondamentale. Si celle-ci est de 100 hertz, les suivantes seront 200, 300, 400, 500, 600 hertz, et ainsi de suite. C’est la découverte de Pythagore, dit-on.
S’il s’agit d’un tambour circulaire à la peau uniformément tendue, et si la fondamentale est de 100 hertz, les suivantes sont de 126, 146, 151, 162, 170 hertz. Il faut pour cela faire un calcul réalisé au XIXe siècle par le mathématicien Bessel.
On comprend donc pourquoi on distingue facilement un tambour d’une guitare. Remarquez que les fréquences des harmoniques d’un tambour circulaire ne sont pas des multiples entiers de la fondamentale : il ne faut donc pas espérer un son très harmonieux, contrairement à une corde dont la n-ième harmonique est proportionnelle à n.
Bien entendu, la fondamentale d’un tambour circulaire n’a aucune raison d’être de 100 hertz : elle dépend de son diamètre. On peut donc entendre le diamètre d’un tambour — comme on entendrait la différence entre des casseroles de sept, huit ou dix centimètres de rayon.
Et si le tambour n’est pas rond ?
Ce n’est pas une question abstraite : il existe par exemple des tambours carrés dans la musique traditionnelle espagnole.
Pour un carré de fondamentale 100 hertz, les harmoniques suivantes sont 141, 200, 223, 282, 300 hertz. On distingue donc à l’oreille un tambour carré d’un tambour circulaire.
L’étude mathématique des tambours elliptiques est bien comprise, et l’on a même déterminé une dimension optimale pour que le son soit le plus harmonieux possible : si le grand axe mesure 3,8 fois le petit axe, la fondamentale et les trois premières harmoniques sont dans un rapport rationnel. Un tel tambour devrait être très harmonieux. Je ne sais pas s’il en a jamais été construit.
La question de Mark Kac
Revenons à la question. Un tambour de forme inconnue émet un son. On écoute la fondamentale et toutes les harmoniques, si l’on a une oreille parfaite. Peut-on déterminer les dimensions et la forme du tambour ?
La réponse est venue peu à peu — et elle est encore incomplète.
D’abord, presque en même temps que la question fut posée, Milnor donna un exemple qui peut paraître ridicule pour les non-spécialistes : il trouva deux tambours de formes différentes ayant les mêmes fréquences, mais abstraits, puisqu’ils existent en dimension seize. C’est bizarre, mais cela a indiqué une piste qui s’avérera fructueuse : l’arithmétique.
En 1980, Marie-France Vignéras trouva des exemples en dimension deux, comme il se doit. Mais hélas, ces tambours avaient des trous. Beaucoup de trous : cent huit chacun. Pas vraiment ce qu’on attend d’un tambour.
Des résultats partiels sont intervenus peu à peu, comme un théorème permettant de démontrer qu’un tambour est circulaire s’il a les fréquences d’un tambour circulaire.
La réponse : non
La vraie réponse, satisfaisante, est venue en 1992, par trois auteurs : Gordon, Webb et Wolpert. Il s’agit de deux formes polygonales dans le plan qui sonnent de manière identique. On dit qu’elles sont homophones — homophones, pas homophobes.
La réponse à la question de Mark Kac est donc non : on ne peut pas entendre la forme d’un tambour.
Mais ce n’est pas la fin de l’histoire, car ces polygones sont quand même un peu bizarres. Ils ont l’un et l’autre neuf côtés, et ils ne sont pas convexes : certains de leurs angles sont rentrants. Que se passe-t-il avec des polygones convexes ? Personne n’en sait rien à ce jour.
À quoi ça sert ?
Voilà la question qu’on pose toujours aux mathématiciens, et pour laquelle il n’y a pas toujours de réponse.
Il s’agit ici de ce qu’on appelle des problèmes inverses : comprendre un objet à partir des sons qu’il produit ou, plus généralement, des signaux qu’il envoie.
Un jour prochain, votre voiture contiendra un enregistreur qui étudiera toutes les fréquences et vous diagnostiquera le moindre problème mécanique : attention, la pression de votre pneu avant gauche est trop faible.
Peut-être plus important : les IRM reçoivent un signal et tentent de déterminer une forme — par exemple une tumeur. Que les IRM soient efficaces, là, nous sommes tous intéressés.
Les maths, ça sert. Parfois. Souvent.
Le tambour dodécaédrique
Pour terminer, je voudrais parler d’une chaîne YouTube que je trouve intéressante : Bob Makes Things — « Bob fait des choses ».
Elle y fabrique des tas de choses en bois. Elle explique à un moment qu’il faudrait inventer de nouveaux instruments de musique. Comme elle est fascinée par les polyèdres réguliers de Platon, dont le dodécaèdre formé de douze pentagones, elle se propose de fabriquer un dodécaèdre en bois dont les faces seraient des tambours pentagonaux.
Un projet fou, à peu près inutile, mais que je trouve très esthétique — et qui aurait plu à Kepler, lequel liait les mathématiques, les polyèdres, les planètes, la musique et la magie.
D’abord, pour s’exercer, elle fabrique un tambour hexagonal. Ensuite, elle passe au pentagone. Ensuite, son dodécaèdre.
Les timbales
On préfère souvent les timbales au tambour : la peau y est tendue sur un fût en cuivre dont la forme est calculée pour que les harmoniques successives soient dans des rapports presque rationnels. Une pédale permet de faire varier la tension de la peau, et donc la fondamentale.
Écoutons alors la célébrissime première scène de 2001, l’Odyssée de l’espace : Ainsi parlait Zarathoustra de Richard Strauss, avec ses trois timbales.
Voilà pour les tambours, les timbales, les fréquences, les harmoniques, les fondamentales — et les mathématiques.
