L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à Blaise Pascal. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Le « triangle de Pascal » est aujourd’hui connu de tous les mathématiciens. Pourtant, le Traité du triangle arithmétique possède une histoire éditoriale complexe, étroitement liée à la circulation et à la publication des œuvres de Pascal.
Avec Yann Sordet, directeur de la Bibliothèque Mazarine et de la bibliothèque de l’Institut de France, Étienne Ghys explore l’histoire matérielle de ce texte majeur des mathématiques.
Étienne Ghys : Je suis face à Yann Sordet, qui est directeur de la Bibliothèque Mazarine et de la bibliothèque de l’Institut. Nous allons présenter un des ouvrages de Pascal qui n’est peut-être pas le plus célèbre, mais qui est très célèbre parmi les mathématiciens : il s’appelle le Traité du triangle arithmétique, et tout le monde l’appelle le triangle de Pascal. C’est un livre dont l’histoire est assez complexe — Yann, vous allez nous en dire quelques mots. D’abord, il ne s’agit pas d’un triangle rectangle, isocèle ou équilatéral : il s’agit en fait d’un tableau de nombres, présenté d’ailleurs comme un dépliant. On écrit sur la première ligne le chiffre 1. Sur la deuxième ligne, on écrit 1, 1. Sur la troisième ligne, on écrit trois chiffres, où chacun est la somme de celui qui est au-dessus, et de celui qui est au-dessus à gauche. Et on continue, on continue, on continue… Alors, la première chose qu’il faut dire, c’est que ce triangle de Pascal n’est pas dû à Pascal : Pascal s’est appuyé sur des travaux antérieurs, ceux de Tartaglia notamment, et sur des échanges avec Mersenne. Mais ce qui est intéressant, c’est que c’est lui qui en a fait une théorie. Et cette théorie contient beaucoup de choses. Le livre contient un certain nombre de petits traités, pour expliquer, comme il dit, les « usages » de ces chiffres dans ce tableau. Je vais le dire rapidement : il y a d’abord un aspect ancien — il s’agit de décrire ce qu’on appelait jadis les nombres figurés, les nombres triangulaires, les nombres pyramidaux, qui appartiennent à une histoire très ancienne. Ensuite, il y a un aspect de combinatoire — c’est aussi une théorie de son temps. C’est-à-dire : par exemple, vous avez dix personnes, et vous voulez former des couples, des ensembles à deux éléments, avec ces dix personnes — de combien de manières pouvez-vous le faire ? Pour le premier élément, vous avez dix possibilités ; pour le second, il n’en reste plus que neuf, ce qui fait dix fois neuf, quatre-vingt-dix. Mais AB et BA, c’est pareil, donc il faut diviser par deux. On dit que le nombre de combinaisons de dix éléments pris deux à deux est quarante-cinq. Ça, c’est le deuxième aspect. Le troisième aspect, qui était vraiment le sujet brûlant de l’époque, c’était la recherche contemporaine : c’est la découverte, avec Fermat, des probabilités et du problème des partis — un moment magnifique dans l’histoire des sciences. C’était une découverte toute chaude, et l’on sent, en lisant le livre de Pascal, toute l’excitation de la découverte. Et puis, enfin, il y a la formule du binôme, qu’on apprenait jadis en classe préparatoire : A plus B à la puissance n. Les coefficients qui apparaissent sont les nombres que l’on voit dans le triangle de Pascal. A plus B au carré, c’est A carré plus deux AB plus B carré. A plus B au cube, c’est A cube plus trois A carré B plus trois B A carré plus B cube — je me prétends mathématicien, et je suis incapable de donner la formule de A plus B au cube sans me tromper, je suis désolé : A plus B au cube, cela fait A cube plus trois A carré B plus trois AB carré plus B cube.
Étienne Ghys : Pardon pour cette erreur. Ce sont ces nombres qui apparaissent dans les puissances qu’on appelle aujourd’hui le binôme de Newton. Ce n’est pas vraiment un cadeau qu’on fait à Newton, car il est allé bien plus loin : il a démontré cette formule y compris lorsque l’exposant n’est pas un nombre entier — mais c’est une autre histoire. Il s’agit donc d’un livre qui contient un élément majeur de l’histoire des mathématiques. Je vais maintenant passer la parole à Yann, qui va nous dire comment est fait ce livre — ou plutôt ces livres, car il n’est pas unique —, quelle est son histoire, sa typographie, d’où il vient. Je vous écoute.
Yann Sordet : Bien volontiers, Étienne. Nous avons sous les yeux deux exemplaires de cette édition du Traité du triangle arithmétique, qui porte une belle page de titre à l’adresse de Paris, chez Guillaume Desprez. On le connaît : c’est un éditeur et libraire parisien, très proche des jansénistes, qui a fortement contribué à la diffusion de l’œuvre de Pascal et de la plupart des grands penseurs de Port-Royal. Et puis il porte une date de publication : 1665. Alors, c’est déjà un peu problématique, 1665 : c’est trois ans après la mort de Pascal. Alors même que nous savons, à travers la correspondance de Pascal — vous avez cité la lettre à Mersenne…
Étienne Ghys : Cette fois, c’est Yann qui se trompe : il s’agit d’une lettre de Pascal à Fermat, et non de Pascal à Mersenne. Mais je lui pardonne ce lapsus, alors que je ne me pardonne pas de m’être trompé sur la formule de A plus B au cube. Continuons.
Yann Sordet : Étienne, nous savons, à travers la correspondance de Pascal, que ces recherches sur le calcul, sur le triangle, sur cette présentation tabulaire, étaient des recherches bien avancées dans les années 1650. Quand on ouvre ce traité, on découvre assez rapidement qu’il s’agit d’un objet hybride. Il y a la page de titre de 1665 : Traité du triangle arithmétique, par M. Pascal.
Étienne Ghys : Ce qui m’étonne un peu, c’est qu’il n’y ait pas de dédicace, alors que c’était un peu la coutume à l’époque. N’avait-il donc personne d’important à remercier ?
Yann Sordet : En 1665, Pascal est mort depuis trois ans déjà. Oui, parce que l’initiative de cette publication ne lui revient pas : c’est cet éditeur-libraire, Guillaume Desprez, qui, sachant que Pascal, de son vivant, avait fait imprimer non pas un traité, mais onze petits traités sur le triangle arithmétique — certains en latin, d’autres en français —, en prend l’initiative. Le travail était bien avancé : tous les exemplaires avaient été imprimés, les presses avaient tourné au plus tard à l’été 1654, puis à l’automne de la même année. Et que se passe-t-il alors ? Dans la nuit du 23 novembre 1654 survient la seconde conversion de Pascal.
Étienne Ghys : Donc c’est à l’été 1654 que Pascal correspond avec Fermat — un échange de lettres tout à fait passionnant. Et l’on sait aujourd’hui que Pascal a envoyé au moins une partie de son traité à Fermat dès cette époque, puisque Fermat l’en remerciait.
Yann Sordet : Donc, dès cet été 1654, ou à la fin de l’été, les exemplaires existent. Il faut imaginer des liasses : les différents traités ont tous été imprimés et restent sous la main de Pascal jusqu’à cette conversion, ce moment de grande effusion spirituelle.
Étienne Ghys : Dites-moi, à l’époque, imprimer un traité comme celui-là, qui devait faire une vingtaine de pages, était-ce un gros travail ? Cela coûtait-il très cher ? Était-ce long ?
Yann Sordet : Ce n’est pas une publication très coûteuse. En tout cas, Desprez n’est pas lui-même imprimeur, il est simplement éditeur, c’est-à-dire qu’il confie le travail à d’autres : il a l’habitude de travailler avec des imprimeurs parisiens, ou avec des imprimeurs normands, de Rouen. Ce n’est pas un travail excessivement difficile. L’impression est soignée : il y a une alternance d’italique et de romaine, un certain nombre de signes mathématiques, mais pas d’exigences graphiques particulières. Et ce sont des éditions qui ne sont pas illustrées : il n’y a pas eu besoin de solliciter des graveurs pour produire des planches gravées sur cuivre ou sur bois.
Étienne Ghys : Et le triangle par lui-même, sur une feuille — c’est un dépliant, n’est-ce pas ?
Yann Sordet : Oui, mais son impression est postérieure — nous y reviendrons. En tout cas, c’est une publication assez soignée, mais assez ordinaire, dans un format in-quarto. Et donc, à partir du 23 novembre 1654, Pascal se détourne de ses recherches mathématiques jusqu’à la fin de sa vie. Et ce traité sur le triangle, en latin comme en français, reste endormi dans un coin.
Étienne Ghys : Juste un mot — vous me direz si j’ai tort — j’ai l’impression que c’est à peu près à cette période qu’on commence à écrire autrement qu’en latin. Je remarque que Pascal réserve le latin aux sujets vraiment difficiles, destinés à un public très cultivé, alors que son triangle arithmétique, du moins dans sa première partie, est écrit en français. Je pense qu’il le destine à un public plus large — on se souvient que cela concernait aussi la naissance des probabilités et la théorie des jeux. Est-ce possible ?
Yann Sordet : Oui, de toute évidence. Ce sont d’ailleurs des schémas éditoriaux qu’on commence à voir apparaître dès les années 1630-1640 : Descartes, par exemple, a fait le choix de publier certains de ses traités aussi bien en latin qu’en français. Le latin reste, de toute évidence, la langue naturelle de la science, de la théologie, et de la plupart des grandes disciplines enseignées dans un cadre universitaire. Mais le français, la langue vernaculaire, poursuit une progression régulière jusqu’au XVIIIe siècle.
Étienne Ghys : D’ailleurs, j’ai vraiment l’impression que le français, chez Pascal, est utilisé avec un très grand soin.
Yann Sordet : Pour les mathématiciens, dont je ne suis pas, ce qui apparaît, c’est effectivement une très grande précision, et un usage extrêmement rationnel de la mise en page.
Un livre publié après la mort de Pascal
Yann Sordet : Pour revenir au livre que nous avons sous les yeux : il faut garder à l’esprit que les exemplaires restent de côté, Pascal meurt, et Guillaume Desprez sait qu’ils existent quelque part, entre les mains des Périer. Les Périer sont en quelque sorte les exécuteurs testamentaires. La sœur de Pascal avait épousé Florin Périer, magistrat auvergnat, et la famille Périer va jouer un rôle extrêmement important dans la valorisation de la mémoire de Pascal, et dans la transmission de ses sources, manuscrites et imprimées.
Étienne Ghys : Le mari de sa sœur — qui avait réalisé l’expérience en haut du Puy ?
Yann Sordet : Absolument, c’est lui qu’il avait accompagné. Cette expérience a d’ailleurs fait l’objet d’un récit, lui aussi imprimé par ce même Guillaume Desprez. Mais pour ce qui est du traité du triangle, Guillaume Desprez n’a pas été, semble-t-il, particulièrement délicat : il a fait main basse sur les exemplaires pour les diffuser sans l’autorisation de la famille Périer. Et que fait-il, en 1665 ? Il assemble les onze petits traités déjà imprimés, et se contente d’y ajouter trois feuillets. Il y a une page de titre, qui va assurer l’unité de l’ensemble et réunir tous ces petits traités antérieurs derrière elle. Il y a un feuillet d’avertissement extrêmement précis, qui explique le contexte de cette publication à l’attention des lecteurs de 1665, et dont je propose de vous lire au moins la première phrase : « Ces traités n’ont point encore paru, quoiqu’il y ait déjà longtemps qu’ils soient composés. On les a trouvés tous imprimés parmi les papiers de M. Pascal, ce qui fait voir qu’il avait eu le dessein de les publier ; mais, ayant peu de temps après entièrement quitté ces sortes d’études, il négligea de faire paraître ses ouvrages, que l’on a jugé à propos de donner au public après sa mort, pour ne le point priver de l’avantage qu’il en pourra retirer. » Vous voyez : « il avait entièrement quitté ces sortes d’études » — c’est une allusion à cette seconde conversion. Donc, une nouvelle page de titre en 1665, un avertissement qui explique cette publication un peu retardée, et puis Guillaume Desprez fait imprimer — non plus par la presse typographique, mais par la gravure — cette représentation tabulaire du triangle, qui prend la forme d’un feuillet qui se déplie, et qu’Étienne va pouvoir commenter avec une science que je n’ai pas.
Deux exemplaires, une histoire de bibliothèques
Étienne Ghys : Est-ce que cette édition est rare, ou en a-t-on retrouvé beaucoup d’exemplaires ?
Yann Sordet : Cette édition n’est pas particulièrement rare : on trouve des exemplaires sur le marché, ainsi que dans les grandes bibliothèques patrimoniales européennes — ce qui laisse penser que le tirage des petits traités, dans les années 1650, à l’initiative de Pascal, s’est fait en un nombre d’exemplaires assez confortable. Mais les deux exemplaires que nous avons aujourd’hui sous les yeux sont, eux, très intéressants. Deux exemplaires, pourquoi ? Celui que vous tenez entre les mains, Étienne, vient de la Bibliothèque Mazarine : c’est un exemplaire bien connu, qui vient de Pascal en quelque sorte — enfin, qui vient des Périer. Il est resté entre les mains de la famille, a cheminé comme un certain nombre de manuscrits issus de la famille et de la belle-famille de Pascal, a séjourné quelque temps au grand séminaire de La Rochelle, puis est passé entre les mains d’un personnage extrêmement intéressant, un grand savant du XIXe siècle nommé Prosper Faugère, qui non seulement a constitué une bibliothèque pascalienne du plus grand intérêt, riche de manuscrits et d’imprimés, mais a aussi présidé à la première édition scientifique des Pensées de Pascal, en 1844.
Étienne Ghys : Cela devait être un gros travail, parce que c’était sans doute un peu épars, dispersé ?
Yann Sordet : Absolument : une présentation matérielle extrêmement complexe, découpée, recomposée. Et Prosper Faugère va avoir l’excellente idée, à la fin de sa vie, de destiner sa bibliothèque pascalienne à la Bibliothèque Mazarine. Donc l’un des deux exemplaires est passé par des mains pascaliennes, si je puis dire. Et l’autre est, lui aussi, tout à fait intéressant : c’est un volume un peu plus épais, et cela s’explique par le fait que le traité du triangle arithmétique s’y trouve relié avec un autre ouvrage. Cet autre ouvrage a pour titre Les Lettres de Dettonville, contenant quelques-unes de ses inventions de géométrie — essentiellement sur la roulette, sur la cycloïde, dont nous pourrions parler longuement.
Étienne Ghys : Sait-on qu’il s’est penché là-dessus parce qu’il avait mal aux dents ?
Yann Sordet : Effectivement — Dettonville est l’un des pseudonymes de Pascal. C’est un petit traité que Pascal avait publié dans les années 1650, et nous voyons sur la page de titre une petite mention manuscrite du plus haut intérêt : elle apporte la preuve que Pascal a offert cet exemplaire des Lettres de Dettonville sur la roulette à Pierre Nicole, l’un de ses grands complices sur le terrain de la pensée janséniste. C’est un immense théologien des réseaux de Port-Royal, un penseur qui a accompagné Pascal dans la collecte des informations et dans la publication des Provinciales. On peut donc supposer que Pierre Nicole a reçu cet exemplaire des mains mêmes de Pascal, et que plus tard, en 1665, après la mort de Pascal, lorsque le traité du triangle arithmétique paraît, un exemplaire lui revient, et il fait relier les deux ouvrages ensemble.
Étienne Ghys : D’une certaine manière, ces deux ouvrages sont reliés scientifiquement, puisque dans le traité du triangle, on apprend, en particulier dans l’une des annexes, comment calculer la somme de tous les entiers — un plus deux plus trois plus quatre, et ainsi de suite. On apprend aussi comment calculer la somme des carrés des entiers — un au carré, plus deux au carré, et ainsi de suite —, ou encore la somme des cubes des entiers. Et Pascal comprend assez rapidement — bien avant l’invention du calcul intégral — que ces sommes discrètes, comme on dirait aujourd’hui, peuvent, à la limite, correspondre à des sommes continues. Il réfléchit déjà au passage du discret au continu, et invente ce que l’on appellera, deux siècles plus tard, les sommes de Riemann, qui lui permettent de faire les premiers calculs d’aire et de volume de solides de révolution. Donc, il y a un lien très net entre le triangle, le calcul intégral, la roulette et la cycloïde. On peut ajouter une chose sur le triangle que je trouve intéressante : le douzième usage dont parle Pascal, si je ne dis pas de bêtise, est la première fois, dans l’histoire des mathématiques, qu’on emploie un raisonnement par récurrence. Un raisonnement par récurrence permet de démontrer qu’une propriété est toujours vraie, pour tout entier : on commence par la vérifier pour le premier entier, disons un, puis deux ; ensuite, on démontre que, si elle est vraie pour n, alors elle est vraie pour n plus un. Elle est donc vraie pour deux, pour trois, pour quatre, pour cinq, et ainsi de suite pour tous les entiers. C’est ce qu’on appelle le raisonnement par récurrence : l’un des raisonnements les plus puissants en mathématiques. On y voit déjà, aussi, la réflexion de Pascal sur l’infini : si j’ajoute toujours un, vais-je un jour arriver au bout des nombres ? Y a-t-il des nombres si grands, si infinis, que je ne pourrai jamais les atteindre en ajoutant des unités ? Voilà le genre de réflexion, philosophique autant que mathématique, que Pascal pouvait avoir dans ce livre.
Yann Sordet : Je vous confirme que ces deux exemplaires, absolument exceptionnels, témoignent une fois encore des richesses de ces deux bibliothèques voisines : la Bibliothèque Mazarine et la bibliothèque de l’Institut. Cette présentation, tout à fait spécifique par son caractère un peu hybride et assemblé — c’est-à-dire une page de titre, un avertissement et une planche imprimés en 1665, pour un corps d’ouvrage imprimé en 1654 —, témoigne une fois de plus du fait que les livres, et notamment les livres anciens, sont toujours beaucoup plus complexes qu’ils n’y paraissent à première vue. Ce sont, à chaque fois, des enquêtes bibliographiques et historiques qui s’imposent pour bien comprendre comment ces objets ont été construits dans le temps, et quels projets ils illustrent. Vous avez même repéré, Étienne, l’existence, parmi ces onze petits traités du triangle arithmétique, de traités qui figurent en français dans les exemplaires connus, alors qu’il existe au moins un exemplaire — vous me le disiez — qui a fait l’objet d’une impression en latin, et qui se trouve conservé à la bibliothèque de Clermont.
Étienne Ghys : Il y a donc deux versions imprimées, dont les spécialistes pensent qu’elles ont peut-être été imprimées à quelques semaines d’intervalle. Qu’est-ce qui a pu pousser Pascal, alors qu’il avait déjà une version en français, à en imprimer une autre en latin ? Je ne pense pas que nous le saurons jamais.
Étienne Ghys : Les pièces musicales que nous avons choisies sont des œuvres de Louis Couperin, né en 1626 et mort en 1661 — presque les mêmes dates que Pascal. Trois pièces pour clavecin : un prélude non mesuré en la mineur, interprété par Skip Sempé ; un prélude en fa majeur, par David Moroney ; et un prélude à l’imitation de Monsieur Froberger. Qui sait si Pascal ne les a pas entendues ?
