L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à Blaise Pascal. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
En 1654, une série de lettres échangées entre Blaise Pascal et Pierre de Fermat autour de problèmes de jeux de hasard marque une étape fondatrice dans l’histoire des probabilités.
Avec le mathématicien Grégory Miermont, Étienne Ghys revient sur cette correspondance, les questions posées par le chevalier de Méré et la naissance progressive d’une nouvelle manière de raisonner sur le hasard.
Étienne Ghys : Je suis face à Grégory Miermont, professeur de mathématiques à l’École normale supérieure de Lyon, spécialiste de la théorie des probabilités. Tu as fait récemment un exposé à la BNF dans lequel tu décortiquais les échanges de courriers entre Pascal et Fermat, en général considérés comme la naissance de la théorie des probabilités. J’aimerais qu’on jette un petit regard sur cet échange de lettres, qu’on essaie de voir en quoi il est d’actualité, et si Pascal existe encore aujourd’hui d’un point de vue mathématique. Alors, dis-nous quelque chose sur cet échange de lettres.
Grégory Miermont : Cet échange de lettres prend sa naissance en 1654. Il provient à l’origine de questions posées à Pascal par un de ses amis mondains, le chevalier de Méré, qui, comme certains de ses corégionnaires, était un joueur invétéré. Le chevalier de Méré pose deux questions à Pascal, qui ont trait au jeu d’argent, au jeu de dés, au jeu de cartes. Pascal va se passionner pour cette question et la résoudre. Sur les conseils de son ami Carcavi, il va entrer en correspondance avec Pierre de Fermat, le magistrat toulousain. Ils vont échanger leurs solutions, car Fermat va trouver lui aussi rapidement la solution à ces problèmes. Et c’est comme cela que naît cette correspondance.
Étienne Ghys : Juste un mot : cette correspondance est bien sûr une correspondance par courrier, qui mettait un certain temps à circuler entre Pascal, qui était à Paris, et Fermat, qui était à Toulouse — les lettres mettent parfois trois semaines à voyager entre les deux villes. Et cette correspondance est intéressante parce qu’ils se respectent visiblement mutuellement.
Grégory Miermont : Oui, tout à fait. La plupart du temps, ils se répondent assez rapidement, et s’excusent au début de leur lettre quand ils ne peuvent pas répondre tout de suite. Il y a un grand contraste dans le style des deux auteurs, mais on sent effectivement un très grand respect mutuel.
Étienne Ghys : J’aime bien une phrase de Pascal : « Je suis content de voir que la vérité est la même à Toulouse et à Paris. » C’est une belle phrase, n’est-ce pas ?
Grégory Miermont : Oui, c’est une très belle phrase.
Le problème des dés du chevalier de Méré
Étienne Ghys : Alors, parle-nous du premier problème : il faut jeter des dés.
Grégory Miermont : Ce premier problème vient peut-être d’une constatation empirique du chevalier de Méré, qui avait remarqué qu’en jetant un dé, on avait avantage à parier qu’en quatre lancers, on allait observer au moins un six. C’est-à-dire que si je parie contre toi que je vais voir au moins un six en un certain nombre de lancers, et que je lance quatre fois, je vais gagner plus souvent que je ne vais perdre. Le problème que va poser Méré à Pascal, c’est : que se passe-t-il si l’on jette deux dés à la fois, et que l’on essaie d’obtenir un double-six ? C’est-à-dire, si je jette deux dés, combien de fois dois-je les lancer pour pouvoir parier, avec avantage, que je vais obtenir au moins un double-six ? Méré fait alors le raisonnement suivant : comme il est six fois moins probable d’obtenir un double-six en jetant deux dés que d’obtenir un six en jetant un seul dé, il faudrait peut-être lancer les dés six fois plus souvent. C’est-à-dire qu’au lieu de lancer quatre fois, il faudrait lancer vingt-quatre fois, et qu’au bout de ces vingt-quatre lancers, on aurait avantage à parier que l’on va obtenir un double-six.
Étienne Ghys : « Avantage », cela veut dire avoir plus de chances de gagner que de perdre ?
Grégory Miermont : Voilà, plus de chances de gagner que de perdre.
Étienne Ghys : Alors, son calcul est faux, bien sûr.
Grégory Miermont : Eh oui, son calcul est faux, et il va même inaugurer là une série d’erreurs fameuses en probabilité, qui ont toujours cours aujourd’hui. Ce n’est pas parce qu’un événement est deux fois moins probable qu’il faut le tenter deux fois plus souvent, c’est-à-dire multiplier les probabilités par deux. Cela ne marche pas : dans ce cas, si l’on jetait le dé cent fois, on aurait peut-être cent fois plus de chances de gagner, mais c’est impossible, puisqu’au bout d’un moment, cent fois plus, cela fait plus que 1.
Étienne Ghys : Je voulais te raconter un article paru il y a une dizaine d’années dans Libération, qui illustre cette erreur. Il y a 450 réacteurs dans le monde, qui ont fonctionné pendant 31 ans, cela fait 14 000 réacteurs-années, et pendant cette période, il y a eu quatre accidents majeurs. L’auteur en déduit que la probabilité qu’il y ait un accident majeur dans une centrale donnée pendant une année est de 0,0003. Il calcule ensuite ce qui va se passer en Europe dans les trente années à venir : il y a 143 réacteurs en Europe, il multiplie par 30, il multiplie par cette probabilité, et il trouve que la probabilité qu’il y ait un accident nucléaire majeur en Europe dans les trente prochaines années est de 129 %.
Grégory Miermont : Et voilà, en effet — c’est exactement la même erreur !
Étienne Ghys : C’est la même erreur, non ?
Grégory Miermont : Voilà, c’est exactement la même erreur, sauf que là, elle est encore plus visible, puisqu’il obtient une probabilité supérieure à 1, alors que le chevalier de Méré, lui, avait obtenu quelque chose de plausible. D’ailleurs, la réponse au problème de Méré n’est pas vingt-quatre lancers, mais vingt-cinq. Pour revenir à l’erreur elle-même, il s’agit d’une confusion entre ce qu’on appelle la probabilité et l’espérance. L’espérance mathématique, qui est le produit de la probabilité par le gain associé à une expérience donnée, est une grandeur linéaire. Dans le calcul qu’ils ont fait, ils ont en réalité calculé le nombre moyen d’accidents que l’on pouvait redouter en Europe — il ne s’agit pas vraiment d’espérance, dans ce cas.
Étienne Ghys : Juste un mot sur le choix des mots en mathématiques : « probabilité » laisse justement penser à des choses plus probables que des choses rares. Et « espérance » est peut-être, lui aussi, un mot mal choisi.
Grégory Miermont : Je ne sais pas si c’est Pascal qui est à l’origine de ce mot, mais en tout cas, il l’utilise vraiment dans le sens d’espérance : ce que l’on peut espérer gagner. Car le second problème du chevalier de Méré — je ne l’ai pas encore mentionné — est un problème de répartition des mises dans un jeu d’argent. Pascal va donc essayer de calculer précisément l’espérance de son gain. Il y a bien, là, une notion d’espérance.
Étienne Ghys : Puisqu’on parle d’espérance, peux-tu nous dire en quelques mots ce que tu penses du pari de Pascal ?
Grégory Miermont : Le pari de Pascal est, je crois, vraiment lié à ce second problème de Méré — dont nous allons parler un peu plus tard —, celui qu’on appelle le problème des partis, c’est-à-dire la façon dont deux joueurs doivent se répartir des mises avant la fin d’un jeu qui les oppose. Dans le pari de Pascal, il pousse ce raisonnement mathématique jusqu’au bout, et en tire un certain nombre de conséquences philosophiques et théologiques : en disant que lorsqu’on parie sur l’existence de Dieu, on parie pour un gain potentiellement infini, il y a donc intérêt à parier, en tout cas il est rationnel de parier pour l’existence de Dieu.
Étienne Ghys : Parce que si l’on gagne, on obtient un gain infini, et si l’on perd, on ne perd que quelque chose de fini.
Grégory Miermont : Voilà, c’est cela. Évidemment, ce serait réducteur de penser que l’argument du pari n’est qu’un argument mathématique. Il y a une partie mathématique — Pascal aimait bien cela, de façon générale : tirer des conséquences philosophiques d’une conception mathématique. Il le fait aussi avec les deux infinis, et en dehors même de l’argument du pari, pour ce qu’il appelle travailler pour l’incertain. Il tire ainsi toute une série de conséquences morales de ses réflexions sur les jeux de hasard. Mais pour en revenir à l’argument du pari : ce n’est pas un argument purement mathématique, il faut aussi comprendre qu’un jeu à espérance infinie est plus compliqué qu’il n’y paraît. Il existe de nombreux jeux à espérance infinie, et l’espérance ne suffit pas à résumer toute la complexité du jeu qui se joue derrière.
Le problème des partis
Étienne Ghys : Dis-nous quelques mots sur le second problème.
Grégory Miermont : Le second problème était sans doute déjà connu, dès le 14e ou le 15e siècle, par les marchands italiens, car il se posait dans le cadre des problèmes d’assurance. C’est ce qu’on appelle le problème des partis. Imaginons deux joueurs — nous deux, par exemple — qui jouent à un jeu se disputant en trois manches gagnantes, chaque manche se décidant, disons, à pile ou face, de sorte que j’ai autant de chances de gagner que toi à chaque manche. Imaginons qu’au bout de deux manches, j’en aie gagné une et que tu en aies gagné deux.
Étienne Ghys : Cela voudrait dire qu’on a joué trois manches.
Grégory Miermont : Et que nous décidons de nous interrompre à ce moment-là, sans être allés au bout des trois manches gagnantes. La question est alors : comment doit-on se répartir les mises que nous avions initialement placées, et qui étaient égales ? Dans l’exemple de Pascal, chacun des deux joueurs avait misé 32 pistoles. C’est cela, le problème des partis. À l’époque de Pascal, il y a fort à parier que Pascal, le chevalier de Méré et Fermat ignoraient tous que la question avait déjà été posée en Italie, notamment par Pacioli, Cardano, et peut-être même Galilée. Mais quoi qu’il en soit, aucune des solutions proposées jusque-là, notamment par Pacioli, n’était satisfaisante : Pacioli proposait de répartir les mises en proportion du nombre de manches déjà remportées. Or on sait que cela ne peut pas fonctionner — par exemple, si je n’ai gagné aucune manche, je ne vais pas récupérer zéro, puisque j’ai encore une chance de gagner les trois manches suivantes et donc de remporter le jeu.
Étienne Ghys : Est-ce de là qu’est né ce différend, cet échange de lettres — peut-être une dizaine de lettres ?
Grégory Miermont : C’est difficile à dire, car un certain nombre de ces lettres ont été perdues — notamment la solution de Fermat, qui a disparu. On ne peut donc la reconstituer qu’à partir des lettres que Pascal a écrites, où, chose intéressante, il développe assez longuement la solution de Fermat : on a presque l’impression, parfois, qu’il lui explique sa propre solution. Ce qui laisse penser que la solution de Fermat était un peu elliptique et laconique — une caractéristique assez propre au personnage.
Étienne Ghys : Nous sommes tous deux mathématiciens, et l’on sait que la meilleure manière de comprendre un théorème, c’est de l’expliquer — c’est peut-être ce qui a joué, ici. Tu me disais tout à l’heure que, pour simplifier, même en caricaturant un peu, on peut dire que Pascal parlait d’espérance et Fermat de probabilité. Comment peux-tu justifier cela ? Quels étaient les mots qu’ils employaient à l’époque ?
Grégory Miermont : D’abord, il n’utilise jamais le mot « probabilité », parce que je pense que ce mot était déjà « teinté » à l’époque — il était notamment utilisé par les jésuites, avec la notion d’« opinion probable » : une opinion probable, c’était le cas où un jésuite pouvait estimer qu’un problème moral qui lui était présenté était acceptable dans certaines circonstances, et ne l’était pas dans d’autres. Le mot « probabilité » était donc « teinté » à cette époque, et Pascal comme Fermat vont éviter de l’utiliser. Fermat, lui, parle de « chance » : il parle du nombre de façons de tomber. Finalement, la chance, c’est la façon de tomber — ce qui correspond bien à un jeu de dés.
Hasard, chance et « géométrie du hasard »
Étienne Ghys : Pour en venir au choix des mots, dont on parlait tout à l’heure : sais-tu qu’en anglais, le mot hasard (« hazard ») signifie plutôt le malheur, et chance (« chance ») le bonheur ?
Grégory Miermont : Oui — sachant que, dans les deux cas, on parle de la façon dont tombent les dés. Le mot hasard vient, je crois, de l’arabe az-zahr, le dé, et l’aléa, c’est aussi le dé. On est donc vraiment, dans les deux cas, dans le vocabulaire des jeux de hasard. Je crois que Fermat utilise lui aussi le mot hasard : il parle de chance ou de hasard, du nombre de « hasards » d’une situation ou d’une expérience donnée.
Étienne Ghys : Fermat a un très joli mot : il parle de la « géométrie du hasard », n’est-ce pas ?
Grégory Miermont : Il parle de géométrie du hasard, ce qui est vraiment une invention stylistique géniale — c’est magnifique. Il développe cette idée dans une adresse qu’il envoie, en 1654, à l’Académie parisienne du père Mersenne, sans doute au même moment où il correspond avec Pascal. Dans cette adresse, il expose un certain nombre de choses merveilleuses qu’il va accomplir en théorie des nombres et en géométrie, mais il consacre tout un paragraphe à cette nouvelle science qui va maîtriser l’incertain par la géométrie.
Étienne Ghys : Il aimait bien se vanter.
Grégory Miermont : Il aimait bien se vanter, mais il avait un sens de la formule extraordinaire.
Une correspondance qui s’achève dans la tristesse
Étienne Ghys : Pour terminer, on pourrait conclure de la manière suivante : quelques mois après cet échange de lettres, en 1654, Pascal connaît sa fameuse seconde conversion, où il décide de consacrer sa vie non plus aux sciences, mais, pour simplifier, à la théologie et à Dieu. Par la suite, en 1660 — deux ans avant sa mort —, il y a un dernier échange de lettres que je trouve très intéressant, et sur lequel on pourrait dire quelques mots. Je vais d’abord lire la proposition qu’avait faite Fermat à Pascal. Fermat écrit à Pascal — ils sont visiblement amis, ils s’entendent bien. Voici un extrait de cette lettre : « Je prétends vous embrasser et converser quelques jours avec vous, parce que ma santé n’est guère plus forte que la vôtre. J’ose espérer qu’en cette considération, vous me ferez la grâce de la moitié du chemin, et que vous m’obligerez de me marquer un lieu entre Clermont — où se trouvait Pascal — et Toulouse, où je ne manquerai pas de me rendre vers la fin septembre ou le début d’octobre. Et si vous ne prenez pas ce parti, vous courez le risque de me voir chez vous, et d’y avoir deux malades en même temps. J’attends de vos nouvelles avec impatience. » Fermat invite donc Pascal amicalement. Et la réponse de Pascal est, je ne sais pas s’il faut dire un peu triste, ou un peu… Lis-nous quelques extraits de cette réponse.
Grégory Miermont : Elle est triste, parce que la rencontre n’aura jamais lieu, et que la correspondance restera entièrement épistolaire. Ce qu’il faut dire, avant cela, c’est qu’après 1654, ils ont continué à correspondre et à échanger des idées sur le hasard — dont certaines finiront sans doute dans un traité de Huygens, paru en 1657. Mais venons-en à cette dernière lettre.
Étienne Ghys : En a-t-on des traces ?
Grégory Miermont : On en a des traces indirectes : on a notamment une lettre de Carcavi à Huygens, où il parle d’un échange entre Pascal et Fermat sur des généralisations et des complexifications du problème des partis, dont un problème célèbre en probabilité, la ruine du joueur. Les années ont passé, au moins trois ou quatre ans, et Pascal finit par répondre à Fermat : « Je vous dirai donc, monsieur, que si j’étais en santé, je serais allé à Toulouse, et je n’aurais pas souffert qu’un homme comme vous eût fait un pas pour un homme comme moi. Je vous dirai aussi que, quoique vous soyez celui de toute l’Europe que je tiens pour le plus grand géomètre, ce ne serait pas cette qualité qui m’aurait attiré, mais je me figure tant d’esprit et d’honnêteté dans votre conversation que c’est pour cela que je vous rechercherais. Car, pour vous parler franchement de la géométrie, je la trouve le plus haut exercice de l’esprit, mais en même temps je la connais pour si inutile que je fais peu de différence entre un homme qui n’est que géomètre et un habile artisan. Aussi je l’appelle le plus beau métier du monde, mais enfin ce n’est qu’un métier ; et j’ai dit souvent qu’elle est bonne pour faire l’essai, mais non pour faire l’emploi de notre force, de sorte que je ne ferais pas deux pas pour la géométrie, et je m’assure que vous êtes fort de mon humeur. »
Étienne Ghys : Toi, tu interprètes cela un peu comme une petite pique contre Fermat ?
Grégory Miermont : Je ne sais pas — je trouve cette lettre triste, parce que l’un et l’autre sont malades, et qu’ils ne peuvent ni se déplacer, ni se rencontrer.
Étienne Ghys : Pascal va mourir en 1662, donc deux ans plus tard.
Grégory Miermont : Voilà — et Fermat, cinq ans plus tard. Ils sont affaiblis, l’un comme l’autre. Non seulement Pascal décline l’invitation, mais il se tourne aussi vers des considérations qu’il juge plus importantes que la géométrie. On ne peut pas complètement lui donner tort, mais…
Étienne Ghys : C’est là tout l’intérêt : Grégory hésite un peu à lui donner complètement tort, ce qui montre bien qu’il ne sait pas trop, lui non plus, s’il avait tort ou raison.
Grégory Miermont : D’un autre côté, il s’adresse à Fermat, qui pratiquait les mathématiques en amateur, en homme érudit, sans y avoir voué sa vie comme lui.
Étienne Ghys : On sent tout de même une petite tristesse dans la voix de Grégory, qui pense que faire des mathématiques, c’est quand même préférable ! Car Pascal dit explicitement que les mathématiques, c’est bien, mais que la théologie, la religion, est plus importante — qu’il faut s’approcher de Dieu.
Grégory Miermont : Oui, c’est cela, effectivement.
Étienne Ghys : Bon, écoute, Grégory, je te remercie. Juste un mot pour conclure : tu as donné à la BNF une conférence, que l’on trouve en ligne sur YouTube, et qui demande un tout petit peu plus de mathématiques que ce que nous venons de dire aujourd’hui — mais pas beaucoup plus. Je recommande vivement d’écouter cette conférence, qui est absolument superbe. Merci, Grégory.
Étienne Ghys : Quelle musique du XVIIe siècle pourrait bien illustrer les probabilités ? Grégory m’a suggéré les préludes non mesurés, qui ont la particularité, d’une part, de n’avoir pas de barre de mesure — d’où leur nom —, et d’autre part, de noter toutes les notes comme des rondes, c’est-à-dire sans valeur rythmique différenciée : l’interprète a donc une totale liberté dans le choix du rythme. Y voir une musique aléatoire serait peut-être aller un peu loin ; c’est une musique typique du XVIIe siècle, qui est passée des luthistes aux clavecinistes. J’ai choisi un prélude non mesuré de Louis Couperin, interprété par Robert Hill.
