L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à Blaise Pascal. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
À seulement seize ans, Blaise Pascal travaille déjà sur les coniques et formule un résultat devenu célèbre : le théorème de l’hexagramme mystique. Pourtant, le traité dans lequel il développait ces idées a disparu.
Avec le mathématicien Alain Juhel, Étienne Ghys revient sur ce théorème, sur les traces laissées par le jeune Pascal et sur l’histoire d’un manuscrit mathématique perdu.
Étienne Ghys : Je suis avec Alain Juhel, professeur de mathématiques, qui s’intéresse aussi beaucoup aux questions historiques et qui est à l’origine d’un site que je recommande à tous, Mathouriste — on y trouve des œuvres d’art, des timbres, des films, tout ce qui touche aux mathématiques, glané au fil de ses voyages. Aujourd’hui, nous allons parler d’un théorème de Pascal qui, il faut bien le dire, n’est pas très connu du grand public — peut-être des agrégés de mathématiques, et encore. C’est un joli théorème, et surtout une belle histoire. Alain, d’où vient-il ?
Alain Juhel : Ce théorème se trouve dans un traité de Pascal aujourd’hui disparu. À seize ans, il rédige un Essai pour les coniques, dont le développement a donné lieu à un traité plus complet que Leibniz aurait consulté — mais ce traité n’a jamais existé qu’à l’état de manuscrit : il n’a pas été publié, et il est perdu, semble-t-il définitivement.
Étienne Ghys : C’est bien Leibniz qui en a parlé ?
Alain Juhel : Leibniz a commenté ce traité, et c’est lui qui a donné son nom au fameux théorème dont tu parlais : l’hexagramme mystique.
Étienne Ghys : Encore un exemple où le choix du nom compte beaucoup, en mathématiques.
Alain Juhel : Oui, cela ajoute au mystère !
Étienne Ghys : Nous verrons tout à l’heure en quoi ce théorème est vraiment mystique. Il n’est donc connu que par les commentaires qu’on en a faits ?
Alain Juhel : Exactement.
Étienne Ghys : Je crois savoir aussi que Descartes y a jeté un œil, et qu’il n’a pas été très tendre avec Pascal.
Alain Juhel : En effet, il l’a pris d’assez haut, disant que ce théorème s’appuyait sur des propriétés déjà établies par Desargues — l’auteur, dit-il, les aurait apprises de monsieur Desargues, ce que Pascal a lui-même confirmé dans ses propres aveux.
Étienne Ghys : Desargues était lyonnais — il signait d’ailleurs ses articles « D.S.G.L. », Desargues, Lyonnais.
Alain Juhel : Il vivait cependant à Paris à cette époque.
Étienne Ghys : Toute cette petite société se retrouvait autour du père Mersenne.
Alain Juhel : Oui, une véritable effervescence : on y trouvait aussi le père de Blaise, Étienne Pascal. D’ailleurs, une belle peinture murale à la Sorbonne évoque ces rencontres, où l’on voit dialoguer Descartes, Pascal, Desargues et le père Mersenne — quatre des plus grands esprits scientifiques de l’époque, auxquels il faudrait ajouter Pierre de Fermat, resté à Toulouse.
Étienne Ghys : Et parmi tout ce monde, il y avait donc un tout jeune garçon de treize, quatorze, seize ans…
Alain Juhel : Bien sûr.
Étienne Ghys : Quand il écrit son Essai pour les coniques, Pascal a seize ans, et Desargues est déjà beaucoup plus âgé.
Alain Juhel : Il a une trentaine d’années de plus. C’est un personnage affirmé, mais resté assez obscur.
Étienne Ghys : Mon sentiment sur Desargues, c’est que c’est l’un des premiers mathématiciens à comprendre que les mathématiques peuvent servir dans la vie de tous les jours.
Alain Juhel : Oui, en particulier pour l’architecture, où il collabore avec des praticiens.
Étienne Ghys : C’est aussi un grand architecte, qui a voulu transmettre sa connaissance géométrique à ses contemporains, artisans ou architectes — quitte, pour cela, à inventer toute une terminologie nouvelle, et des textes assez difficiles d’accès.
Alain Juhel : C’est vrai. Un historien qui a beaucoup écrit sur Pascal souligne que, même si Pascal empruntait des idées à Desargues, il fallait déjà les comprendre — ce que bien peu de gens, pour ne pas dire personne, parvenaient à faire.
Étienne Ghys : À l’inverse, les textes de Pascal, eux, sont d’une limpidité extrême.
Alain Juhel : Oui, et c’est important : Pascal reconnaît lui-même sa dette envers Desargues. Il écrit à peu près ceci : « Je veux bien avouer que je dois à monsieur Desargues ce que j’ai trouvé sur cette matière, et que j’ai tâché d’imiter, autant qu’il m’a été possible, sa méthode sur ce sujet. » Il faut souligner le mot « méthode » : Pascal ne cache rien de ce qu’il doit à Desargues — impossible donc de l’accuser de plagiat —, mais il utilise sa méthode pour aller plus loin dans la théorie des coniques.
Étienne Ghys : Et Desargues, de son côté, appelle même l’un de ses résultats « le théorème de Pascal » — ce qui montre qu’il était bien plus généreux que Descartes : non seulement il ne reproche rien à son jeune disciple, mais il salue son travail et lui en attribue le mérite.
Étienne Ghys : Je suis certain que nos auditeurs se demandent tous, à ce stade, de quel théorème il s’agit exactement. Tu peux nous l’énoncer ?
Alain Juhel : C’est un peu difficile à faire à la radio, mais essayons — un peu comme nos vieux professeurs de géométrie qui nous dictaient un énoncé, à charge pour nous de tracer la figure. Prenons un cercle, avec lequel tout le monde est familier, et plaçons-y six points, n’importe où, de manière à former un hexagone : A, B, C, D, E, F. Numérotons les côtés plutôt que de les nommer : le côté AB devient le côté 1, BC le côté 2, et ainsi de suite. Je prends l’intersection du côté 1 avec le côté 4 : j’appelle ce point X. L’intersection du côté 2 avec le côté 5 : j’appelle ce point Y. Et l’intersection du côté 3 avec le côté 6 : j’appelle ce point Z. On obtient ainsi trois points, X, Y et Z, à partir des six points, absolument quelconques, placés sur le cercle.
Étienne Ghys : Donc, à partir de six points sur un cercle, on obtient par cette construction trois nouveaux points, X, Y, Z…
Alain Juhel : Et ils sont alignés — dans tous les cas.
Étienne Ghys : Voilà donc le théorème de Pascal.
Alain Juhel : Le théorème de Pascal, oui, mais sur un cercle seulement pour l’instant — il ne faut pas s’arrêter là. N’oublions pas qu’il s’agit d’un Essai pour les coniques : ce théorème n’est pas vrai seulement sur le cercle, il est vrai sur toutes les coniques — une parabole, une ellipse, une hyperbole, absolument quelconques. Et c’est précisément pour ce passage au cas conique général que les idées de Desargues vont servir.
Étienne Ghys : Desargues est l’un des fondateurs de la géométrie projective : on prend des figures, et on les projette.
Alain Juhel : Voilà, une idée qu’on peut faire remonter à la perspective de la Renaissance italienne — c’est là toute l’originalité de Pascal. Je précise que ce que je vais décrire est la démonstration probable de Pascal : le traité étant perdu, nous n’en savons rien avec certitude. La première idée consiste à revenir aux Grecs, qui avaient parfaitement vu que les sections d’un cône de révolution donnent les différentes courbes que j’ai mentionnées : ellipse, parabole, hyperbole. Tout le monde peut comprendre la géométrie projective en regardant un simple abat-jour, dont le haut est en général circulaire : le cône de lumière qu’il projette va couper le mur suivant une hyperbole, qu’on distingue très bien. Si, à présent, je pose une règle au sommet de cet abat-jour, dans n’importe quelle position — c’est-à-dire que je trace une droite —, son ombre va, elle aussi, dessiner une droite sur le mur, coupant cette hyperbole en des points d’intersection bien précis. Autrement dit, la figure obtenue dans le cas particulier du cercle se retrouve à l’identique sur l’hyperbole : les droites, les intersections, les alignements sont conservés par la projection.
Étienne Ghys : Donc la projection d’un cercle, selon l’inclinaison, donne une hyperbole, une ellipse ou une parabole — mais la projection d’une droite reste toujours une droite. Voilà toute la base de la géométrie projective. Maintenant qu’on a compris le théorème de Pascal, voici la question qui fâche : à quoi ça sert ?
Alain Juhel : Il paraît que Pascal avait reconstruit toute la théorie des coniques à partir de ce seul théorème — sa sœur rapporte qu’il en avait tiré quatre cents propositions. Je dois avouer ne pas avoir essayé moi-même, et je me demande si quelqu’un s’est déjà risqué à reconstituer tout le traité des coniques à partir de là…
Étienne Ghys : Puisque ce théorème de Pascal est célèbre parmi les mathématiciens, il a nécessairement un écho contemporain — quelqu’un qui prépare un concours aujourd’hui devrait le connaître ?
Alain Juhel : Il a d’ailleurs été proposé comme sujet de concours dans les années 1940.
Étienne Ghys : Peux-tu m’expliquer pourquoi ce théorème garde une certaine actualité au XXIe siècle, quand on l’enseigne à un jeune homme ou une jeune femme de dix-huit, vingt ou vingt-deux ans ?
Alain Juhel : D’abord, c’est une belle illustration de la géométrie projective, qu’on a longtemps crue un peu datée, et qui a repris une réelle actualité avec les performances de l’outil informatique — ce n’est pas négligeable pour la formation des enseignants. Il y a aussi le côté esthétique, artistique, des mathématiques : il ne faut jamais couper les mathématiques de la beauté. Et ce théorème, je crois, est de ceux qui peuvent faire naître un amour des mathématiques, indépendamment de l’époque.
Étienne Ghys : J’aimerais ajouter quelque chose : certains théorèmes ont cette double caractéristique d’être beaux, comme tu viens de le dire, et d’avoir de nombreuses démonstrations différentes, dont on peut se régaler. Celui-ci en est un bel exemple.
Alain Juhel : Je ne saurais pas les compter toutes, mais il y en a plusieurs — peut-être même une bonne demi-douzaine !
Étienne Ghys : Pour terminer, j’aimerais que tu me parles d’une œuvre d’art liée à ce théorème.
Alain Juhel : Avec grand plaisir. J’étais alors en classe préparatoire au lycée Blaise-Pascal, à Clermont-Ferrand, en toute première année, et notre professeur nous a un jour posé un problème tiré des annales du baccalauréat de 1969. J’avais fait beaucoup de problèmes pour m’entraîner, en choisissant plutôt les plus beaux, mais celui-là ne m’avait pas marqué : il avait l’air difficile, et il était destiné aux futurs bacheliers de série C, comme on disait à l’époque. Le professeur nous a dit : ce sujet repose sur le théorème de Pascal, et vous pouvez même aller le voir gravé dans la lave d’Auvergne, sur la place de l’Hôtel de Ville. J’ai suivi son conseil, et je suis allé voir ce monument, une sorte de disque plat que tous les Clermontois de l’époque appelaient « la soucoupe volante ». Ce disque portait, en son centre, une inscription : « Ici s’élevait la maison natale de Blaise Pascal », et tout autour, comme des parts de camembert, les grandes réalisations de Pascal — sa machine arithmétique, ses expériences sur la pression atmosphérique, et bien sûr ce fameux théorème, présenté exactement comme je viens de le décrire, avec les côtés numérotés.
Étienne Ghys : Et quelles étaient les dimensions de ce monument ?
Alain Juhel : Il faisait quatre à cinq mètres de diamètre — ce n’est donc pas un monument très imposant. Il a été sculpté en 1962 par un professeur de l’École des beaux-arts de Clermont-Ferrand, Gustave Gournay.
Étienne Ghys : Et pourquoi n’est-il plus exposé sur cette place aujourd’hui ?
Alain Juhel : C’est là que ça devient à la fois très français et un peu surréaliste. Peu de gens devineraient la raison : le monument a été démonté et stocké dans un entrepôt de Clermont-Ferrand tout simplement parce que les chiens du quartier venaient y faire leurs besoins.
Étienne Ghys : Qu’en aurait pensé Pascal ?
Alain Juhel : Je crois que Pascal, comme beaucoup de scientifiques, aurait trouvé cela profondément indigne.
Étienne Ghys : Alain, je te remercie pour cette belle évocation — on peut peut-être terminer en disant : remettez-le en place, messieurs !
Alain Juhel : Cette œuvre doit revenir ! Je me suis d’ailleurs à nouveau manifesté, à l’occasion des commémorations du quatre centième anniversaire de la naissance de Pascal, auprès de ceux qui pourraient la faire réinstaller. J’attends encore un peu — je ne perds pas tout espoir, même si je m’explique assez mal une telle inertie.
Étienne Ghys : L’explication est peut-être très simple : un homme politique n’a que faire de six points sur un cercle ou une ellipse.
