L’Académie des sciences consacre, en partenariat avec Canal Académies, une série de podcasts à Henri Poincaré. Au micro, Étienne Ghys, qui lit et commente ses textes. Cortex Média a retranscrit et édité cet épisode, à lire ci-dessous.
Canal Académie. Petite histoire de science avec Étienne Ghys. Le podcast de l'Académie des sciences.
Au début du XXᵉ siècle, Henri Poincaré a publié quatre livres de philosophie des sciences: La Science et l’Hypothèse, La Valeur de la science, Science et Méthode et Dernières Pensées. Ces livres ont eu un retentissement considérable auprès du grand public, même si, il faut bien le dire, ils ne sont pas toujours faciles à lire.Je vous propose une lecture du troisième chapitre de Science et Méthode, L'invention mathématique, en deux parties. Dans cette deuxième partie, il nous explique en détail la gestation de l'une de ses découvertes majeures. La scène de l'omnibus est célèbre parmi les mathématiciens. Il est temps de pénétrer plus avant et de voir ce qui se passe dans l'âme même du mathématicien. Pour cela, je crois que ce que j'ai de mieux à faire, c'est de rappeler des souvenirs personnels. Je vous demande pardon, je vais employer quelques expressions techniques. Seulement, je vais me circonscrire et vous raconter seulement comment j'ai écrit mon premier mémoire sur les fonctions fuqsiennes. Mais elles ne doivent pas vous effrayer. Vous n'avez aucun besoin de les comprendre. Je dirai par exemple: j'ai trouvé la démonstration de tel théorème dans telles circonstances. Ce théorème aura un nom barbare que beaucoup d'entre vous ne connaîtront pas, mais cela n'a aucune importance. Ce qui est intéressant pour le psychologue, ce n'est pas le théorème, ce sont les circonstances. Depuis quinze jours, je m'efforçais de démontrer qu'il ne pouvait exister aucune fonction analogue à ce que j'ai appelé depuis les fonctions fuqsiennes. J'étais alors fort ignorant. Tous les jours, je m'asseyais à ma table de travail. J'y passais une heure ou deux. J'essayais un grand nombre de combinaisons et je n'arrivais à aucun résultat. Un soir, je pris du café noir, contrairement à mon habitude. Je ne pus m'endormir. Les idées surgissaient en foule. Je les sentais comme se heurter jusqu'à ce que deux d'entre elles s'accrochassent, pour ainsi dire, pour former une combinaison stable. Le matin, j'avais établi l'existence d'une classe de fonctions fuqsiennes, celles qui dérivent de la série hypergéométrique. Je n'eus plus qu'à rédiger les résultats, ce qui ne me prit que quelques heures. Je voulus ensuite représenter ces fonctions par le quotient de deux séries. Cette idée fut parfaitement consciente et réfléchie. L'analogie avec les fonctions elliptiques me guidait. Je me demandais quelles devaient être les propriétés de ces séries si elles existaient et j'arrivais sans difficulté à former les séries que j'ai appelées thêta fuqsiennes. À ce moment, je quittais Caen, que j'habitais alors, pour prendre part à une course géologique entreprise par l'École des mines. Les péripéties du voyage me firent oublier mes travaux mathématiques. Arrivés à Coutances, nous montâmes dans un omnibus pour je ne sais quelle promenade. Au moment où je mettais le pied sur le marchepied, l'idée me vint, sans que rien de mes pensées antérieures parût m'y avoir préparé, que les transformations dont j'avais fait usage pour définir les fonctions fuqsiennes sont identiques à celles de la géométrie non euclidienne.
Je ne fis pas la vérification. Je n'en aurais pas eu le temps puisque à peine assis dans l'omnibus, je repris la conversation commencée, mais j'eus tout de suite une entière certitude.De retour à Caen, je vérifiai le résultat à tête reposée pour l'acquit de ma conscience. Je me mis alors à étudier des questions d'arithmétique sans grand résultat apparent et sans soupçonner que cela pût avoir le moindre rapport avec mes recherches antérieures. Dégoûté de mon insuccès, j'allai passer quelques jours au bord de la mer et je pensai à tout autre chose. Un jour, en me promenant sur une falaise, l'idée me vint, toujours avec les mêmes caractères de brièveté, de soudaineté et de certitude immédiate, que les transformations arithmétiques des formes quadratiques ternaires indéfinies sont identiques à celles de la géométrie non euclidienne. Étant revenu à Caen, je réfléchis sur ce résultat et j'en tirai les conséquences. L'exemple des formes quadratiques
Me montrait qu'il y a des groupes fuchsiens autres que ceux qui correspondent à la série hypergéométrique. Je vis que je pouvais leur appliquer la théorie des séries têtas fuciennes et que par conséquent, il existe des fonctions fuciennes autres que celles qui dérivent de la série hypergéométrique, les seules que je connusse jusqu'alors.Je me proposais naturellement de former toutes ces fonctions. J'en fis un siège systématique et j'enlevais l'un après l'autre tous les ouvrages avancés. Il y en avait un cependant qui tenait encore et dont la chute devait entraîner celle du corps de place. Mais tous mes efforts ne servirent d'abord qu'à mieux me faire connaître la difficulté, ce qui était déjà quelque chose. Tout ce travail fut parfaitement conscient. Là-dessus, je partis pour le mont Valérien où je devais faire mon service militaire. J'eus donc des préoccupations très différentes. Un jour, en traversant le boulevard, la solution de la difficulté qui m'avait arrêté m'apparut tout à coup. Je ne cherchais pas à l'approfondir immédiatement et ce fut seulement après mon service que je repris la question.J'avais tous les éléments, je n'avais qu'à les rassembler et à les ordonner. Je rédigeais donc mon mémoire définitif d'un trait et sans aucune peine. Je me borderai à cet exemple unique. Il est inutile de les multiplier.En ce qui concerne mes autres recherches, j'aurais à vous faire des récits tout à fait analogues et les observations rapportées par d'autres mathématiciens dans l'enquête de l'enseignement mathématique ne pourraient que les confirmer. Ce qui frappera tout d'abord, ce sont ces apparences d'illumination subite, signe manifeste d'un long travail inconscient antérieur. Le rôle de ce travail inconscient dans l’invention mathématique me paraît incontestable et l'on en trouverait des traces dans d'autres cas où il est moins évident. Souvent, quand on travaille une question difficile, on ne fait rien de bon la première fois qu'on se mette à la besogne. Ensuite, on prend un repos plus ou moins long et on s'assoit de nouveau devant sa table. Pendant la première demi-heure, on continue à ne rien trouver. Puis tout à coup, l'idée décisive se présente à l'esprit. On pourrait dire que le travail conscient a été plus fructueux parce qu'il a été interrompu et que le repos a rendu à l'esprit sa force et sa fraîcheur. Mais il est plus probable que ce repos a été rempli par un travail inconscient et que le résultat de ce travail s'est révélé ensuite au géomètre tout à fait comme dans les cas que j'ai cités. Seulement, la révélation, au lieu de se faire jour pendant une promenade ou un voyage, s'est produite pendant une période de travail conscient, mais indépendamment de ce travail qui joue tout au plus un rôle de déclenchement, comme s'il était l'aiguillon qui aurait excité les résultats déjà acquis pendant le repos, mais resté inconscient, à revêtir la forme consciente. Il y a une autre remarque à faire au sujet des conditions de ce travail inconscient. C'est qu'il n'est possible, et en tout cas qu'il n'est fécond, que s'il est d'une part précédé et d'autre part suivi d'une période de travail conscient.
Jamais, et les exemples que je vous ai cités le prouvent déjà suffisamment, ces inspirations subites ne se produisent sinon après quelques jours d'efforts volontaires et qui ont paru absolument infructueux et où l'on a cru ne rien faire de bon, où il semble qu'on a fait totalement fausse route. Ces efforts n'ont pas été aussi stériles qu'on le pense. Ils ont mis en branle la machine inconsciente et sans eux, elle n'aurait pas marché et elle n'aurait rien produit. La nécessité de la seconde période de travail conscient après l'inspiration se comprend mieux encore. Il faut mettre en œuvre les résultats de cette inspiration, en déduire les conséquences immédiates, les ordonner, rédiger les démonstrations. Mais surtout, il faut les vérifier. Je vous ai parlé du sentiment de certitude absolue qui accompagne l'inspiration. Dans les cas cités, ce sentiment n'était pas trompeur et le plus souvent, il en est ainsi. Mais il faut se garder de croire que ce soit une règle sans exception. Souvent, ce sentiment nous trompe sans pour cela être moins vif et l'on ne s'en aperçoit que quand on cherche à mettre la démonstration sur pied. J'ai observé surtout le fait pour les idées qui me sont venues le matin ou le soir dans mon lit, dans un état semi-hypnagogique. Tels sont les faits.Et voici maintenant les réflexions qu'ils nous imposent. Le moi inconscient, ou comme on dit, le moi subliminal, joue un rôle capital dans l’invention mathématique. Cela résulte de tout ce qui précède, mais on considère d'ordinaire le moi subliminal comme purement automatique. Or, nous avons vu que le travail mathématique n'est pas un simple travail mécanique, qu'on ne saurait le confier à une machine, quelque perfectionnée qu'on la suppose. Il ne s'agit pas seulement d'appliquer des règles, de fabriquer Le plus de combinaisons possible d'après certaines lois fixes. Les combinaisons ainsi obtenues seraient extrêmement nombreuses, inutiles et encombrantes. Le véritable travail de l'inventeur consiste à choisir entre ces combinaisons de façon à éliminer celles qui sont inutiles ou plutôt à ne pas se donner la peine de les faire. Et les règles qui doivent guider ce choix sont extrêmement fines et délicates. Il est à peu près impossible de les énoncer dans un langage précis. Elles se sentent plutôt qu'elles ne se formulent. Comment, dans ces conditions, imaginer un crible capable de les appliquer mécaniquement? Et alors, une première hypothèse se présente à nous. Le moi subliminal n'est nullement inférieur au moi conscient. Il n'est pas purement automatique. Il est capable de discernement. Il a du tact, de la délicatesse. Il sait choisir, il sait deviner. Que dis-je? Il sait mieux deviner que le moi conscient, puisqu'il réussit là où celui-ci avait échoué. En un mot, le moi subliminal n'est-il pas supérieur au moi conscient? Vous comprenez toute l'importance de cette question. Monsieur Boutrou, dans une conférence récente, vous a montré comment elle s'était posée à des occasions toutes différentes et quelles conséquences entraînerait une réponse affirmative.
Cette réponse affirmative nous est-elle imposée par les faits que je viens de vous exposer? J'avoue que pour ma part, je ne l'accepterai pas sans répugnance. Revoyons donc les faits et cherchons s'ils ne comporteraient pas une autre explication.Il est certain que les combinaisons qui se présentent à l'esprit dans une sorte d'illumination subite, après un travail inconscient un peu prolongé, sont généralement des combinaisons utiles et fécondes qui semblent le résultat d'un premier triage. S'ensuit-il que le moi subliminal, ayant deviné par une intuition délicate que ces combinaisons pourraient être utiles, n'a formé que celles-là? Ou bien en a-t-il formé beaucoup d'autres qui étaient dépourvues d'intérêt et qui sont demeurées inconscientes? Dans cette seconde manière de voir, toutes les combinaisons se formeraient par suite de l'automatisme du s-, du moi subliminal, mais seules celles qui seraient intéressantes pénétreraient dans le champ de la conscience. Et cela est encore très mystérieux. Quelle est la cause qui fait que parmi les mille produits de notre activité inconsciente, il y en a qui sont appelés à franchir le seuil, tandis que d'autres restent en deçà. Est-ce un simple hasard qui leur confère ce privilège? Évidemment non. Parmi toutes les excitations de nos sens, par exemple, les plus intenses seules retiendront notre attention, à moins que cette attention n'ait été attirée sur elles par d'autres causes. Plus généralement, les phénomènes inconscients privilégiés, ceux qui sont susceptibles de devenir conscients, ce sont ceux qui, directement ou indirectement, affectent le plus profondément notre sensibilité. On peut s'étonner de voir invoquer la sensibilité à propos de démonstrations mathématiques qui, semble-t-il, ne peuvent intéresser que l'intelligence. Ce serait oublier le sentiment de la beauté mathématique, de l'harmonie des nombres et des formes, de l'élégance géométrique. C'est un véritable sentiment esthétique que tous les vrais mathématiciens connaissent et c'est bien là de la sensibilité. Or, quels sont les êtres mathématiques auxquels nous attribuons ce caractère de beauté et d'élégance et qui sont susceptibles de développer en nous une sorte d'émotion esthétique? Ce sont ceux dont les éléments sont harmonieusement disposés, de façon que l'esprit puisse, sans effort, en embrasser l'ensemble tout en en pénétrant les détails. Cette harmonie est à la fois une satisfaction pour nos besoins esthétiques et une aide pour l'esprit, qu'elle soutient et qu'elle guide. Et en même temps, en mettant sous nos yeux un tout bien ordonné, elle nous fait pressentir une loi mathématique. Or, nous l'avons dit plus haut, les seuls faits mathématiques dignes de retenir notre attention et susceptibles d'être utiles sont ceux qui peuvent nous faire connaître une loi mathématique. De sorte que nous arrivons à la conclusion suivante: les combinaisons utiles, ce sont précisément les plus belles. Je veux dire celles qui peuvent le mieux charmer cette sensibilité spéciale que tous les mathématiciens connaissent, mais que les profanes ignorent au point qu'ils sont souvent tentés d'en sourire.
Qu'arrive-t-il alors? Parmi les combinaisons en très grand nombre que le moi subliminal a aveuglement formées, presque toutes sont sans intérêt et sans utilité. Mais par cela même, elles sont sans action sur la sensibilité esthétique. La conscience ne les connaîtra pas. Quelques-unes seulement sont harmonieuses et par suite, à la fois utiles et belles. Elles seront capables d'émouvoir cette sensibilité spéciale du géomètre dont je viens de vous parler et qui, une fois excitée, appellera sur elle notre attention et leur donnera ainsi l'occasion de devenir consciente.Ce n'est là qu'une hypothèse. Et cependant, voici une observation qui pourrait la confirmer. Quand une illumination subite envahit l'esprit du mathématicien, il arrive le plus souvent qu'elle ne le trompe pas. Mais il arrive aussi quelques fois, je l'ai dit, qu'elle ne supporte pas l'épreuve d'une vérification. Eh bien, on remarque presque toujours que cette idée fausse, si elle avait été juste, aurait flatté notre instinct naturel de l'élégance mathématique. Ainsi, c'est cette sensibilité esthétique spéciale qui joue le rôle du crible délicat dont je parlais plus haut, et cela fait comprendre assez pourquoi celui qui en est dépourvu ne sera jamais un véritable inventeur. Toutes les difficultés n'ont pas disparu cependant. Le moi conscient est étroitement borné. Quant au moi subliminal, nous n'en connaissons pas les limites. Et c'est pourquoi nous ne répugnons pas à supposer qu'il a pu former en peu de temps plus de combinaisons diverses que la vie entière d'un être conscient ne pourrait en embrasser. Ces limites existent cependant. Est-il vraisemblable qu'il puisse former toutes les combinaisons possibles dont le nombre effraierait l'imagination? Cela semblerait nécessaire néanmoins, car s'il ne produit qu'une petite partie de ces combinaisons et s'il le fait au hasard, il y aura bien peu de chances pour que la bonne, celle qu'on doit choisir, se trouve parmi elles. Peut-être faut-il chercher l'explication dans cette période de travail conscient, préliminaire, qui précède toujours tout travail inconscient fructueux.Qu'on me permette une comparaison grossière. Représentons-nous les éléments futurs de nos combinaisons comme quelque chose de semblable aux atomes crochus des piqûres. Pendant le repos complet de l'esprit, ces atomes sont immobiles, sont pour ainsi dire accrochés au mur. Ce repos complet peut donc se prolonger indéfiniment sans que ces atomes se rencontrent et par conséquent, sans qu'aucune combinaison puisse se produire entre eux. Au contraire, pendant une période de repos apparent et de travail inconscient, quelques-uns d'entre eux sont détachés du mur et mis en mouvement. Ils sillonnent dans tous les sens de l'espace. J'allais dire la pièce où ils sont enfermés, comme pourrait le faire par exemple une nuée de moucherons. Ou, si vous préférez, une comparaison plus savante, comme le font les molécules gazeuses de la théorie cinétique des gaz. Leurs chocs mutuels peuvent alors produire des combinaisons nouvelles.
Quel va être le rôle du travail conscient préliminaire? C'est évidemment de mobiliser quelques-uns de ces atomes, de les décrocher du mur et de les mettre en branle. On croit qu'on n'a rien fait de bon parce qu'on a remué ces éléments de mille façons diverses pour chercher à les assembler et qu'on n'a pas pu trouver d'assemblage satisfaisant. Mais après cette agitation qui leur a été imposée par notre volonté, ces atomes ne rentrent pas dans leur repos primitif. Ils continuent librement leur danse. Or, notre volonté ne les a pas choisis au hasard. Elle poursuivait un but parfaitement déterminé. Les atomes mobilisés ne sont donc pas des atomes quelconques. Ce sont ceux dont on peut raisonnablement attendre la solution cherchée. Les atomes mobilisés vont alors subir des chocs qui les feront entrer en combinaison, soit entre eux, soit avec d'autres atomes restés immobiles et qu'ils seront venus heurter dans leur course.Je vous demande pardon encore une fois, ma comparaison est bien grossière, mais je ne sais trop comment je pourrais faire comprendre autrement ma pensée. Quoi qu'il en soit, les seules combinaisons qui ont chance de se former, ce sont celles où l'un des éléments au moins est l'un de ces atomes librement choisis par notre volonté. Or, c'est évidemment parmi elles que se trouve ce que j'appelais tout à l'heure la bonne combinaison. Peut-être y a-t-il là un moyen d'atténuer ce qu'il y avait de paradoxal dans l'hypothèse primitive. Autre observation. Il n'arrive jamais que le travail inconscient nous fournisse tout à fait le résultat d'un calcul un peu long où l'on n'a qu'à appliquer des règles fixes. On pourrait croire que le moi subliminal, tout automatique, est particulièrement apte à ce genre de travail qui est en quelque sorte exclusivement mécanique. Il semble que, en pensant le soir aux facteurs d'une multiplication, on pourrait espérer trouver le produit tout fait à son réveil. Ou bien encore qu'un calcul algébrique, une vérification, par exemple, pourrait se faire inconsciemment. Il n'en est rien. L'observation le prouve. Tout ce qu'on peut espérer de ces inspirations, qui sont les faits du travail inconscient, ce sont des points de départ pour de semblables calculs. Quant aux calculs eux-mêmes, il faut les faire dans la seconde période de travail conscient, celle qui suit l'inspiration, celle où l'on vérifie les résultats de cette inspiration et où l'on en tire des conséquences.Les règles de ces calculs sont strictes et compliquées. Elles exigent la discipline, l'attention, la volonté et, par suite, la conscience. Dans le moi subliminal règne au contraire ce que j'appellerais la liberté. Si l'on pouvait donner ce nom à la simple absence de discipline, au désordre né du hasard. Seulement, ce désordre même permet des accouplements inattendus. Je ferai une dernière remarque. Quand je vous ai exposé plus haut quelques observations personnelles, j'ai parlé d'une nuit d'excitation où je travaillais comme malgré moi. Les cas où il en est ainsi sont fréquents. Il n'est pas nécessaire que l'activité cérébrale anormale soit causée par un excitant physique comme celui que j'ai cité.
Eh bien, il semble que dans ce cas On assiste soi-même à son propre travail inconscient qui est devenu partiellement perceptible à la conscience surexcitée et qui n'a pas pour cela changé de nature. On se rend alors vaguement compte de ce qui distingue les deux mécanismes ou si vous voulez les méthodes de travail des deux mois.Et les observations psychologiques que j'ai pu faire me semblent confirmer dans leurs traits généraux les vues que je viens d'émettre. Certes, elles en ont bien besoin, car elles sont et restent malgré tout bien hypothétiques. L'intérêt de la question est si grand pourtant que je ne me repends pas de les avoir soumises au lecteur. Vous avez peut-être reconnu le clair de lune de Debussy? Petite histoire de science avec Étienne Jissy. Le podcast de l'Académie des sciences. Canal Académie.
