L’Académie des sciences consacre, en partenariat avec Canal Académies, une série de podcasts à Henri Poincaré. Au micro, Étienne Ghys, qui lit et commente ses textes. Cortex Média a retranscrit et édité cet épisode, à lire ci-dessous.
Canal Académie. Petite histoire de sciences avec Étienne Ghys. Le podcast de l'Académie des sciences.
Au début du XXᵉ siècle, Henri Poincaré a publié quatre livres de philosophie des sciences: La Science et l’Hypothèse, La Valeur de la science, Science et Méthode et Dernières Pensées. Ces livres ont eu un retentissement considérable auprès du grand public, même si, il faut bien le dire, ils ne sont pas toujours faciles à lire.Je vous propose une lecture du quatrième chapitre de Science et Méthode: Le hasard. Une problématique toujours d'actualité en deux parties. « Tout ce que nous venons de dire ne nous explique pas encore pourquoi le hasard obéit à des lois. Suffit-il que les causes soient petites ou qu'elles soient complexes pour que nous puissions prévoir, sinon quels en sont les effets dans chaque cas, mais au moins ce que seront ces effets en moyenne? Pour répondre à cette question, le mieux est de reprendre quelques-uns des exemples cités plus haut. Je commencerai par celui de la roulette. Je dis que le point où s'arrêtera l'aiguille va dépendre de l'impulsion initiale qui lui est donnée. Quelle est la probabilité pour que cette impulsion ait telle ou telle valeur? Je n'en sais rien, mais il m'est difficile de ne pas admettre que cette probabilité est représentée par une fonction analytique continue. La probabilité pour que cette impulsion soit comprise entre A et A plus epsilon sera alors sensiblement égale à la probabilité pour qu'elle soit comprise entre A plus epsilon et A plus deux epsilon, pourvu que epsilon soit très petit. C'est là une propriété commune à toutes les fonctions analytiques. Les petites variations de la fonction sont proportionnelles aux petites variations de la variable. Mais, nous l'avons supposé, une très petite variation de l'impulsion suffit pour changer la couleur du secteur devant lequel l'aiguille va finir par s'arrêter. De A à A plus epsilon, c'est le rouge. De A plus epsilon à A plus deux epsilon, c'est le noir. La probabilité de chaque secteur rouge est donc la même que celle du secteur noir suivant et par conséquent, la probabilité totale du rouge est égale à la probabilité totale du noir. La donnée de la question, c'est la fonction analytique qui représente la probabilité d'une impulsion initiale donnée. Mais le théorème reste vrai, quelle que soit cette donnée, parce qu'il dépend d'une propriété commune à toutes les fonctions analytiques. Il en résulte que finalement, nous n'avons plus besoin d'aucune donnée. Ce que nous venons de dire pour le cas de la roulette s'applique aussi à l'exemple des petites planètes. Le zodiaque peut être regardé comme une immense roulette sur laquelle le créateur a lancé un très grand nombre de petites boules auxquelles il a communiqué des impulsions initiales diverses variant suivant une loi d'ailleurs quelconque. Leur distribution actuelle est uniforme et indépendante de cette loi pour la même raison que dans le cas précédent. On voit ainsi pourquoi les phénomènes obéissent aux lois du hasard quand de petites différences dans les causes suffisent pour amener de grandes différences dans les effets.
Les probabilités de ces petites différences peuvent alors être regardées comme proportionnelles à ces différences elles-mêmes, justement parce que ces différences sont petites et que les petits accroissements d'une fonction continue sont proportionnels à ceux de la variable. Passons à un exemple entièrement différent où intervient surtout la complexité des causes.Je suppose qu'un joueur batte un jeu de cartes. À chaque battement, il intervertit l'ordre des cartes et il peut les intervertir de plusieurs manières. Supposons trois cartes seulement pour simplifier l'exposition. Les cartes qui, avant le battement, occupaient respectivement les places un, deux, trois, pourront, après le battement, occuper les rangs un deux trois, deux trois un, trois un deux, trois deux un, un trois deux et deux un trois. Chacune de ces six hypothèses est possible
Et elles ont respectivement pour probabilité P1, P2, P3, P4, P5, P6. La somme de ces six nombres est égale à un. Mais c'est tout ce que nous en savons.Ces six probabilités dépendent naturellement des habitudes du joueur que nous ne connaissons pas. Au second battement et au suivant, cela recommencera et dans les mêmes conditions. Je veux dire par exemple que P4 représente toujours la probabilité pour que les trois cartes qui occupaient après le Nème battement et avant le N plus 1ème battement, les rangs un, deux, trois, pour que ces trois cartes, dis-je, occupent les rangs trois, deux, un après le N plus 1ème battement. Et cela reste vrai quel que soit le nombre N, puisque les habitudes du joueur, sa façon de battre, restent les mêmes. Mais si le nombre de battements est très grand, les cartes qui avant le premier battement occupaient les rangs un, deux, trois pourront après le dernier battement occuper les rangs un, deux, trois, deux, trois, un, trois, un, deux, trois, deux, un, un, trois, deux, deux, un, trois. Et la probabilité de ces six hypothèses sera sensiblement la même et égale à un sixième. Et cela est vrai, quels que soient les nombres P un, P deux, P six, que nous ne connaissons pas.Le grand nombre des battements, c'est-à-dire la complexité des causes, a produit l'uniformité. Cela s'appliquerait sans changement s'il y avait plus de trois cartes. Et même avec trois cartes, la démonstration serait compliquée. Je me contenterais de la donner pour deux cartes seulement. Nous n'avons plus que deux hypothèses: un, deux, deux, un. Avec les probabilités P un et un moins P un. Supposons N battements et supposons que je gagne un franc si les cartes sont finalement dans l'ordre initial et que j'en perds un si elles sont finalement interverties. Alors mon espérance mathématique sera P un moins P deux puissance N. La différence P un moins P deux est certainement plus petite que un. De sorte que si N est très grand, mon espérance sera nulle.Nous n'avons pas besoin de connaître P un et P deux pour savoir que le jeu est équitable. Il y aurait une exception toutefois. Si l'un des nombres P un et P deux était égal à un et l'autre nul, cela ne marcherait plus parce que nos hypothèses initiales seraient trop simples. Ce que nous venons de voir ne s'applique pas seulement au mélange des cartes, mais à tous les mélanges, à ceux des poudres et des liquides et même à ceux des molécules gazeuses dans la théorie cinétique des gaz.Pour en revenir à cette théorie, supposons pour un instant un gaz dont les molécules ne puissent se choquer mutuellement, mais qui puissent être déviées par des chocs sur les parois du vase où le gaz est enfermé. Si la forme du vase est suffisamment compliquée, la distribution des molécules et celle des vitesses ne tarderont pas à devenir uniformes. Il n'en sera plus de même si le vase est sphérique ou s'il a la forme d'un parallélépipède rectangle. Pourquoi? Parce que dans le premier cas, la distance du centre à une trajectoire quelconque demeura constante.
Dans le second, ce sera la valeur absolue de l'angle de chaque trajectoire avec les faces du parallélépipède. On voit ainsi ce que l'on doit entendre par des conditions trop simples. Ce sont celles qui conservent quelque chose, qui laissent subsister un invariant. Les équations différentielles du problème sont-elles trop simples pour que nous puissions appliquer les lois du hasard? Cette question paraît au premier abord dénuée de sens précis. Nous savons maintenant ce qu'elle veut dire. Elles sont trop simples si elles conservent quelque chose, si elles admettent une intégrale uniforme. Si quelque chose des conditions initiales demeure inaltéré, il est clair que la situation finale ne pourra plus être indépendante de la situation initiale.Venons enfin à la théorie des erreurs. À quoi sont dues les erreurs accidentelles? Nous l'ignorons. Et c'est justement parce que nous l'ignorons que nous savons qu'elles vont obéir à la loi de Gauss.Tel est le paradoxe. Il s'explique à peu près de la même manière que dans les cas précédents. Nous n'avons besoin de savoir qu'une chose: que les erreurs sont très nombreuses, qu'elles sont très petites et que chacune d'elles peut être aussi bien négative que positive. Quelle est la courbe de probabilité de chacune d'elles? Nous n'en savons rien. Nous supposons seulement que cette courbe est symétrique. On démontre alors que l'erreur résultante suivra la loi de Gauss et cette loi résultante est indépendante des lois particulières que nous ne connaissons pas. Ici encore, la simplicité du résultat est née de la complication même des données. Mais nous ne sommes pas au bout des paradoxes. J'ai repris tout à l'heure la fiction de Flammarion, celle de l'homme qui va plus vite que la lumière et pour qui le temps est changé de signe. J'ai dit que pour lui, tous les phénomènes sembleraient dus au hasard. Cela est vrai à un certain point de vue. Et cependant, tous ces phénomènes, à un instant donné, ne seraient pas distribués conformément aux lois du hasard, puisqu'ils le seraient, comme pour nous, qui, les voyant se dérouler harmonieusement et sans sortir d'un chaos primitif, ne les regardons pas comme réglés par le hasard.Qu'est-ce que cela veut dire? Pour l’homme de Flammarion, l'homme de Flammarion, de petites causes semblent produire de grands effets. Pourquoi les choses ne se passent-elles pas comme pour nous quand nous croyons voir de grands effets dus à de petites causes? Revenons sur ce raisonnement. Quand de petites différences dans les causes en engendrent de grandes dans les effets, pourquoi ces effets sont-ils distribués d'après les lois du hasard?Je suppose qu'une différence d'un millimètre sur la cause produise une différence d'un kilomètre dans l'effet. Si je dois gagner dans le cas où l'effet correspondra à un kilomètre portant un numéro pair, ma probabilité de gagner sera un demi. Pourquoi? Parce qu'il faut pour cela que la cause corresponde à un millimètre de numéro pair. Or, selon toute apparence, la probabilité pour que la cause varie entre certaines limites sera proportionnelle à la distance de ces limites, pourvu que cette distance soit très petite.
Si on n'admettait pas cette hypothèse, il n'y aurait plus moyen de représenter la probabilité par une fonction continue. Qu'arrivera-t-il maintenant quand de grandes causes produiront de petits effets? C'est le cas où nous n'attribuions pas le phénomène au hasard et où l'humaine, au contraire, l'attribuerait au hasard. À une différence d'un kilomètre dans la cause correspondrait une différence d'un millimètre dans l'effet. La probabilité pour que la cause soit comprise entre deux limites distantes de N kilomètres sera-t-elle encore proportionnelle à N? Nous n'avons aucune raison de le supposer puisque cette distance de N kilomètres est grande. Mais la probabilité pour que l'effet reste comprise entre deux limites distantes de N millimètres sera précisément la même. Elle ne sera donc pas proportionnelle à N, et cela, bien que cette distance de N millimètres soit petite.Il n'y a donc pas moyen de représenter la loi de probabilité des effets par une courbe continue. Entendons-nous bien, cette courbe pourra rester continue au sens analytique du mot. À des variations infiniment petites de l'abscisse correspondront des variations infiniment petites de l'ordonnée. Mais pratiquement, elle ne serait pas continue puisque à des variations très petites de l'abscisse ne correspondraient pas des variations très petites de l'ordonnée. Il deviendrait impossible de tracer la courbe avec un crayon ordinaire. Voilà ce que je veux dire. Que devons-nous conclure? L’homme n'a pas le droit de dire que la probabilité de la cause, celle de sa cause, qui est notre effet à nous, doit nécessairement être représentée par une fonction continue. Mais alors, nous, pourquoi avons-nous ce droit? C'est parce que cet état d'équilibre instable, que nous appelions tout à l'heure initial, n'est lui-même que le point d'aboutissement d'une longue histoire antérieure. Dans le cours de cette histoire, des causes complexes ont agi et elles ont agi longtemps. Elles ont contribué à opérer le mélange des éléments et elles ont tendu à tout uniformiser, au moins dans un petit espace. Elles ont arrondi les angles, nivelé les montagnes et comblé les vallées. Quelque capricieuse et irrégulière qu'ait pu être la courbe primitive qu'on leur a livrée, elles ont tant travaillé à la régulariser qu'elles nous la rendront finalement une courbe continue. Et c'est pourquoi nous en pouvons, en toute confiance, admettre la continuité.L’homme n'aurait pas les mêmes raisons de conclure ainsi. Pour lui, les causes complexes ne lui paraîtraient pas des agents de régularité et de nivellement. Elles ne créeraient au contraire que la différenciation et l'inégalité. Il verrait sortir un monde de plus en plus varié, d'une sorte de chaos primitif. Les changements qu'il observerait seraient pour lui imprévus et impossibles à prévoir. Ils lui paraîtraient dus à je ne sais quel caprice. Mais ce caprice serait tout autre chose que notre hasard, puisqu'il serait rebelle à toute loi. Tandis que notre hasard a encore les siennes.
Tous ces points demanderaient de longs développements qui aideraient peut-être à mieux comprendre l'irréversibilité de l'univers. Nous avons cherché à définir le hasard. Il convient maintenant de se poser une question. Le hasard étant ainsi défini dans la mesure où il peut l'être, a-t-il un caractère objectif? On peut se le demander.J'ai parlé de causes très petites ou très complexes, mais ce qui est très petit pour l'un ne peut-il être grand pour l'autre? Et ce qui semble très complexe à l'un ne peut-il paraître simple à l'autre? J'ai déjà répondu en partie puisque j'ai dit plus haut d'une façon précise dans quel cas les équations différentielles deviennent trop simples pour que les lois du hasard restent applicables. Mais il convient d'examiner la chose d'un peu plus près, car on peut se placer encore à d'autres points de vue. Que signifie le mot très petit? Il suffit pour le comprendre de se reporter à ce que nous avons dit plus haut. Une différence très petite, un intervalle est très petit lorsque, dans les limites de cet intervalle, la probabilité reste sensiblement constante. Et pourquoi cette probabilité peut-elle être regardée comme constante dans un petit intervalle? C'est parce que nous admettons que la loi de probabilité est représentée par une courbe continue. Et non seulement continue au sens analytique du mot, mais pratiquement continue, comme je l'expliquais plus haut. Cela veut dire que non seulement elle ne présentera pas de hiatus absolu, mais qu'elle n'aura pas non plus de saillants et de rentrants trop aigus ou trop accentués. Qu'est-ce qui nous donne le droit de faire cette hypothèse? Nous avons dit plus haut, c'est parce que depuis le commencement des siècles, il y a des causes complexes qui ne cessent d'agir dans le même sens et qui font tendre constamment le monde vers l'uniformité sans qu'il puisse jamais revenir en arrière. Ce sont ces causes qui ont peu à peu abattu les saillants et rempli les rentrants. Et c'est pour cela que nos courbes de probabilité n'offrent plus que des ondulations lentes. Dans des milliards de milliards de siècles, on aura fait un pas de plus vers l'uniformité et ces ondulations seront dix fois plus lentes encore. Le rayon de courbure moyen de notre courbe sera devenu dix fois plus grand. Et alors, telle longueur qui aujourd'hui ne nous semble pas très petite, parce que sur notre courbe, un arc de cette longueur ne peut pas être regardé comme rectiligne, sera au contraire, à cette époque, qualifiée de très petite, puisque la courbure sera devenue dix fois moindre et qu'un arc de cette longueur pourra être sensiblement assimilé à une droite. Ainsi, ce mot de très petit reste relatif. Mais il n'est pas relatif à tel homme ou à tel autre. Il est relatif à l'état actuel du monde. Il changera de sens quand le monde sera devenu plus uniforme, que toutes les choses se seront mélangées encore. Mais alors, sans doute, les hommes ne pourront plus y vivre et devront faire place à d'autres êtres. Dois-je dire beaucoup plus petits ou beaucoup plus grands?
De sorte que notre critérium, restant vrai pour tous les hommes, conserve un sens objectif. Et que veut dire d'autre part le mot très complexe? J'ai déjà donné une solution. C'est celle que j'ai rappelée au début du paragraphe, mais il y en a d'autres.Les causes complexes, nous l'avons dit, produisent un mélange de plus en plus intime. Mais au bout de combien de temps ce mélange nous satisfera-t-il? Quand aura-t-on accumulé assez de complications? Quand aura-t-on suffisamment battu les cartes? Si nous mélangeons deux poudres, l'une bleue et l'autre blanche, il arrive un moment où la teinte du mélange nous paraît uniforme. C'est à cause de l'infirmité de nos sens. Elle sera uniforme pour le presbyte, qui est obligé de regarder de très loin, quand elle ne sera pas encore pour le myope. Et quand elle le sera devenue pour toutes les vues, on pourra encore reculer la limite par l'emploi des instruments. Il n'y a pas de chance pour qu'un homme discerne jamais la variété infinie qui, si la théorie cinétique était vraie, se dissimule sous l'apparence uniforme d'un gaz. Et cependant, si on adopte les idées de Gouy sur le mouvement brownien, le microscope ne semble-t-il pas sur le point de nous montrer quelque chose d'analogue. Ce nouveau critérium est donc relatif comme le premier. Et s'il conserve un caractère objectif, c'est parce que tous les hommes ont à peu près les mêmes sens, que la puissance de leurs instruments est limitée et qu'ils ne s'en servent d'ailleurs qu'exceptionnellement.C'est la même chose dans les sciences morales et en particulier dans l'histoire. L'historien est obligé de faire un choix dans les événements de l'époque qu'il étudie. Il ne raconte que ceux qui lui semblent les plus importants. Il s'est donc contenté de relater les événements les plus considérables du seizième siècle par exemple, de même que les faits les plus remarquables du dix-septième siècle.Si les premiers suffisent pour expliquer les seconds, on dit que ceux-ci sont conformes aux lois de l'histoire. Mais si un grand événement du dix-septième siècle reconnaît pour cause un petit fait du seizième siècle qu'aucune histoire ne rapporte, que tout le monde a négligé, alors on dit que cet événement est dû au hasard. Ce mot a donc le même sens que dans les sciences physiques. Il signifie que de petites causes ont produit de grands effets.Le plus grand hasard est la naissance d'un grand homme. Ce n'est que par hasard que se sont rencontrées deux cellules génitales de sexes différents qui contenaient précisément chacune de son côté, dont la réaction mutuelle devait produire le génie. On tombera d'accord que ces éléments doivent être très rares et que leur rencontre est encore plus rare, qu'il ait fallu peu de choses pour dévier de sa route le spermatozoïde qui les portait. Il aurait suffi de le dévier d'un dixième de millimètre et Napoléon ne naissait pas. Et les destinées d'un continent étaient changées. Nul exemple ne peut mieux faire comprendre les véritables caractères du hasard.Un mot encore sur les paradoxes auxquels a donné lieu l'application du calcul des probabilités aux sciences morales.
On a démontré qu'aucune chambre ne contiendrait jamais aucun député de l'opposition ou du moins un tel événement serait tellement improbable qu'on pourrait sans crainte parier le contraire et parier un million contre un sou. Condorcet s'est efforcé de calculer combien il fallait de jurés pour qu'une erreur judiciaire devint pratiquement impossible. Si on avait utilisé les résultats de ce calcul, on se serait certainement exposé aux mêmes déceptions qu'en pariant sur la foi du calcul que l'opposition n'aurait jamais aucun représentant.Les lois du hasard ne s'appliquent pas à ces questions. Si la justice ne se décide pas toujours par de bonnes raisons, elle use moins qu'on ne le croit de la méthode de Bridoy. C'est peut-être fâcheux, puisque alors le système de Condorcet nous mettrait à l'abri des erreurs judiciaires. Qu'est-ce à dire? Nous sommes tentés d'attribuer au hasard les faits de cette nature parce que les causes en sont obscures. Mais ce n'est pas là le vrai hasard. Les causes nous sont inconnues, il est vrai. Et même, elles sont complexes. Mais elles ne le sont pas assez puisqu'elles conservent quelque chose. Nous avons vu que c'est là ce qui distingue les causes trop simples. Quand les hommes sont rapprochés, ils ne décident plus au hasard et indépendamment les uns des autres. Ils réagissent les uns sur les autres. Des causes multiples entrent en action, elles troublent les hommes, les entraînent à droite et à gauche. Mais il y a une chose qu'elles ne peuvent pas détruire, ce sont leurs habitudes de moutons de Panurge. Et c'est cela qui se conserve.L'application du calcul des probabilités aux sciences exactes entraîne aussi bien des difficultés. Pourquoi les décimales d'une table de logarithme, pourquoi celles du nombre Pi sont-elles distribuées conformément au hasard? J'ai déjà d'ailleurs étudié la question en ce qui concerne les logarithmes. Et là, cela est facile. Il est clair qu'une petite différence sur l'argument donnera une petite différence sur le logarithme, mais une grande différence sur la sixième décimale du logarithme. Nous retrouvons toujours le même critérium. Mais pour le nombre Pi, cela présente plus de difficultés et je n'ai pour le moment rien de bon à dire.Il y aurait beaucoup d'autres questions à soulever si je voulais les aborder avant d'avoir résolu celles que je m'étais plus spécialement proposées. Quand nous constatons un résultat simple, quand nous trouvons un nombre rond par exemple, nous disons qu'un pareil résultat ne peut pas être dû au hasard et nous cherchons pour l'expliquer une cause non fortuite. En effet, il y a une très faible probabilité pour qu'entre dix mille nombres, le hasard amène un nombre rond, le nombre dix mille par exemple. Il y a seulement une chance sur dix mille. Mais il n'y a non plus qu'une chance sur dix mille pour qu'il amène n'importe quel autre nombre
Et cependant, ce résultat ne nous étonnera pas et il ne nous répugnera pas de l'attribuer au hasard. Et cela simplement parce qu'il sera moins frappant. Y a-t-il de notre part une simple illusion ou bien y a-t-il des cas où cette façon de voir est légitime? Il faut l'espérer car sans cela, toute science serait impossible.Quand nous voulons contrôler une hypothèse, que faisons-nous? Nous ne pouvons en vérifier toutes les conséquences puisqu'elles seraient en nombre infini. Nous nous contentons d'en vérifier quelques-unes. Et si nous réussissons, nous déclarons l'hypothèse confirmée. Car tant de succès ne saurait être dû au hasard. Et c'est toujours au fond le même raisonnement. Je ne puis ici le justifier complètement, cela me prendrait trop de temps. Mais je puis dire au moins ceci. Nous nous trouvons en présence de deux hypothèses, ou bien une cause simple, ou bien cet ensemble de causes complexes que nous appelons le hasard. Nous trouvons naturel d'admettre que la première doit produire un résultat simple. Et alors, si nous constatons ce résultat simple, le nombre rond par exemple, il nous paraît plus vraisemblable de l'attribuer à la cause simple qui devait nous le donner presque certainement, qu'au hasard qui ne pouvait nous le donner qu'une fois sur dix mille.Il ne sera plus de même si nous constatons un résultat qui n'est pas simple. Le hasard, il est vrai, ne l'amènera pas non plus plus d'une fois sur dix mille. Mais la cause simple n'a pas plus de chance de le produire. Vous avez bien sûr reconnu des variations sur les Gymnopédies de Satie au violon et au piano.
Petite histoire de science avec Étienne Ghys. Le podcast de l'Académie des sciences. Canal Académie.
