L’Académie des sciences consacre, en partenariat avec Canal Académies, une série de podcasts à Henri Poincaré. Au micro, Étienne Ghys, qui lit et commente ses textes. Cortex Média a retranscrit et édité cet épisode, à lire ci-dessous.
Canal Académie. Petite histoire de science avec Étienne Ghys. Le podcast de l'Académie des sciences.
Au début du XXᵉ siècle, Henri Poincaré a publié quatre livres de philosophie des sciences: La Science et l’Hypothèse, La Valeur de la science, Science et Méthode et Dernières Pensées. Ces livres ont eu un retentissement considérable auprès du grand public, même si, il faut bien le dire, ils ne sont pas toujours faciles à lire.Je vous propose une lecture du troisième chapitre de Science et Méthode, l’invention mathématique, en deux parties. Dans cette première partie, il nous explique sa compréhension de la pensée créative en science, en mathématiques en particulier. La genèse de l’invention mathématique est un problème qui doit inspirer le plus vif intérêt au psychologue. C'est l'acte dans lequel l'esprit humain semble le moins emprunté au monde extérieur, où il n'agit ou ne paraît agir que par lui-même et sur lui-même, de sorte qu'en étudiant le processus de la pensée géométrique, c'est ce qu'il y a de plus essentiel dans l'esprit humain que nous pouvons espérer atteindre. On l'a compris depuis longtemps et il y a quelques mois, une revue intitulée L'enseignement mathématique et dirigée par messieurs Lézan et Fair, a entrepris une enquête sur les habitudes d'esprit et les méthodes de travail des différents mathématiciens. J'avais arrêté les principaux traits de ma conférence quand les résultats de cette enquête ont été publiés. Je n'ai donc guère pu les utiliser. Je me bornerai à dire que la majorité des témoignages confirme mes conclusions.Je ne dis pas l'unanimité, car quand on consulte le suffrage universel, on ne peut se flatter de réunir l'unanimité. Un premier fait doit nous étonner, ou plutôt devrait nous étonner si nous n'y étions pas si habitués. Comment se fait-il qu'il y ait des gens qui ne comprennent pas les mathématiques? Si les mathématiques n'invoquent que des règles de la logique, celles qui sont acceptées par tous les esprits bien faits, si leur évidence est fondée sur des principes qui sont communs à tous les hommes et que nul ne saurait nier sans être fou, comment se fait-il qu'il y ait tant de personnes qui y soient totalement réfractaires? Que tout le monde ne soit pas capable d'invention, cela n'a rien de mystérieux. Que tout le monde ne puisse retenir une démonstration qu'il a apprise autrefois, passe encore. Mais que tout le monde ne puisse pas comprendre un raisonnement mathématique au moment où on le lui expose, voilà qui paraît bien surprenant quand on y réfléchit.Et pourtant, ceux qui ne peuvent suivre ce raisonnement qu'avec peine sont en majorité. Cela est incontestable et l'expérience des maîtres de l'enseignement secondaire ne me contredira certes pas. Et il y a plus. Comment l'erreur est-elle possible en mathématiques? Une intelligence saine ne doit pas commettre de fautes de logique.
Et cependant, il y a des esprits très fins qui ne broncheront pas dans un raisonnement court, tels que ceux que l'on a à faire dans les actes de la vie quotidienne et qui sont incapables de suivre ou de répéter sans erreur les démonstrations des mathématiques qui sont plus longues, mais qui ne sont, après tout, qu'une accumulation de petits raisonnements tout à fait analogues à ceux qu'ils font si facilement. Est-il nécessaire d'ajouter que les bons mathématiciens eux-mêmes ne sont pas infaillibles?La réponse me semble s'imposer. Imaginons une longue série de syllogismes et que les conclusions des premiers servent de prémisses aux suivants. Nous serons capables de saisir chacun de ces syllogismes et ce n'est pas dans le passage des prémisses à la conclusion que nous risquons de nous tromper. Mais entre le moment où nous rencontrons pour la première fois une proposition comme conclusion d'un syllogisme et celui où nous la retrouvons comme prémisse d'un autre syllogisme, il se sera écoulé parfois beaucoup de temps. On aura déroulé de nombreux anneaux de la chaîne. Il peut donc arriver qu'on l'ait oublié ou, ce qui est plus grave, qu'on en ait oublié le sens. Il peut donc se faire qu'on la remplace par une proposition un peu différente ou que, tout en conservant le même énoncé, on lui attribue un sens un peu différent et c'est ainsi qu'on est exposé à l'erreur.
Souvent, le mathématicien doit se servir d'une règle. Naturellement, il a commencé par démontrer cette règle. Au moment où cette démonstration était toute fraîche dans son souvenir, il en comprenait parfaitement le sens et la portée et il ne risquait pas de l'altérer. Mais ensuite, il l'a confiée à sa mémoire et il ne l'applique plus que d'une façon mécanique.Alors si la mémoire lui fait défaut, il peut l'appliquer tout de travers. C'est ainsi, pour prendre un exemple simple et presque vulgaire, que nous faisons quelques fois des fautes de calcul parce que nous avons oublié notre table de multiplication. À ce compte, l'aptitude spéciale aux mathématiques ne serait due qu'à une mémoire très sûre ou bien à une force d'attention prodigieuse. Ce serait une qualité analogue à celle du joueur de whist qui retient les cartes tombées. Ou bien, pour nous élever d'un degré, à celle du joueur d'échecs qui peut envisager un nombre très grand de combinaisons et les garder dans sa mémoire. Tout bon mathématicien devrait être en même temps bon joueur d'échecs et inversement.Il devrait être également un bon calculateur numérique. Certes, cela arrive quelques fois. Ainsi, Gauss était à la fois un géomètre de génie et un calculateur très précoce et très sûr. Mais il y a des exceptions. Plutôt, je me trompe. Je ne puis pas appeler cela des exceptions, sans quoi les exceptions seraient plus nombreuses que les cas conformes à la règle. C'est Gauss, au contraire, qui est une exception. Quant à moi, je suis obligé de l'avouer, je suis absolument incapable de faire une addition sans faute.Je serais également un fort mauvais joueur d'échecs. Je calculerais bien qu'en jouant de telle façon, je m'expose à tel danger. Je passerais en revue beaucoup d'autres coups que je rejetterais pour d'autres raisons et je finirais par jouer le coup d'abord examiné, ayant oublié dans l'intervalle le danger que j'avais prévu. En un mot, ma mémoire n'est pas mauvaise, mais elle serait insuffisante pour faire de moi un bon joueur d'échecs. Pourquoi donc ne me fait-elle pas défaut dans un raisonnement mathématique difficile où la plupart des joueurs d'échecs se perdraient? C'est évidemment parce qu'elle est guidée par la marche générale du raisonnement.Une démonstration mathématique n'est pas une simple juxtaposition de syllogismes. Ce sont des syllogismes placés dans un certain ordre. Et l'ordre dans lequel ces éléments sont placés est beaucoup plus important que ne le sont ces éléments eux-mêmes. Si j'ai le sentiment, l'intuition, pour ainsi dire, de cet ordre, de façon à apercevoir d'un coup d'œil l'ensemble du raisonnement, je ne dois plus craindre d'oublier l'un des éléments. Chacun d'eux viendra se placer de lui-même dans le cadre qui lui est préparé et sans que j'aie à faire aucun effort de mémoire. Il me semble alors, en répétant un raisonnement appris, que j'aurais pu l'inventer. Ou plutôt, même si cela est une illusion, si je ne suis pas assez fort pour créer ça moi-même, je le réinvente moi-même à mesure que je le répète.
On conçoit que ce sentiment, cette intuition de l'ordre mathématique qui nous fait deviner des harmonies et des relations cachées, ne puisse appartenir à tout le monde. Les uns ne possèderont ni ce sentiment délicat et difficile à définir, ni une force de mémoire et d'attention au-dessus de l'ordinaire. Et alors, ils seront absolument incapables de comprendre les mathématiques un peu élevées. C'est le plus grand nombre.D'autres n'auront ce sentiment qu'à un faible degré, mais ils seront doués d'une mémoire peu commune et d'une grande capacité d'attention. Ils apprendront par cœur les détails, les uns après les autres. Ils pourront comprendre les mathématiques et quelques fois les appliquer, mais ils seront hors d'état de créer. Les autres, enfin, possèderont à un plus ou moins haut degré l'intuition spéciale dont je viens de parler. Et alors, non seulement ils pourront comprendre les mathématiques, quand même leur mémoire n'aurait rien d'extraordinaire, mais ils pourront devenir créateurs et chercher à inventer avec plus ou moins de succès, suivant que cette intuition est chez eux plus ou moins développée.Qu'est-ce en effet que l’invention mathématique? Elle ne consiste pas à faire de nouvelles combinaisons avec des êtres mathématiques déjà connus. Cela, n'importe qui pourrait le faire.Mais les combinaisons que l'on pourrait faire ainsi seraient en nombre fini et le plus grand nombre est absolument dépourvu d'intérêt. Inventer, cela consiste précisément à ne pas construire les combinaisons inutiles et à construire celles qui seront utiles et qui ne sont qu'une infime minorité.Inventer, c'est discerner, c'est choisir. Comment doit se faire ce choix? Je l'ai déjà expliqué ailleurs. Les faits mathématiques dignes d'être étudiés, ce sont ceux qui, par leur analogie avec d'autres faits, sont susceptibles de nous conduire à la connaissance d'une loi mathématique, de la même façon que les faits expérimentaux nous conduisent à la connaissance d'une loi physique. Ce sont eux qui nous révèlent des parentés insoupçonnées entre d'autres faits, connus depuis longtemps, mais qu'on croyait à tort étrangers les uns aux autres. Parmi les combinaisons que l'on choisira- Les plus fécondes sont souvent celles qui sont formées d'éléments empruntés à des domaines très éloignés.Je ne veux pas dire qu'il suffise pour inventer de rapprocher des faits aussi disparates que possible. La plupart des combinaisons que l'on formerait ainsi seraient entièrement stériles. Mais quelques-unes d'entre elles, bien rares, sont les plus fécondes de toutes. Inventer, je l'ai dit, c'est choisir. Mais le mot n'est peut-être pas tout à fait juste. Il fait penser à un acheteur à qui l'on présente un grand nombre d'échantillons, qui les examine l'un après l'autre de façon à faire son choix. Ici, les échantillons seraient tellement nombreux qu'une vie entière ne suffirait pas pour les examiner. Ce n'est pas ainsi que les choses se passent. Les combinaisons stériles ne se présenteront même pas à l'esprit de l'inventeur.
Dans le champ de sa conscience n'apparaîtront jamais que les combinaisons réellement utiles et quelques autres qu'il rejettera, mais qui participent un peu des caractères des combinaisons utiles. Tout se passe comme si l'inventeur était un examinateur du deuxième degré, qu'il n'aurait plus à interroger que les candidats déclarés admissibles après une première épreuve.Vous avez peut-être reconnu le clair de lune. Petite histoire de science avec Étienne Ghys. Canal Académie. Le podcast de l'Académie des sciences.
