L’Académie des sciences consacre, en partenariat avec Canal Académies, une série de podcasts à Henri Poincaré. Au micro, Étienne Ghys, qui lit et commente ses textes. Cortex Média a retranscrit et édité cet épisode, à lire ci-dessous.
Canal Académie. Petite histoire de science avec Étienne Ghys. Le podcast de l'Académie des sciences. Au début du XXᵉ siècle, Henri Poincaré a publié quatre livres de philosophie des sciences: La Science et l’Hypothèse, La Valeur de la science, Science et Méthode et Dernières Pensées. Ces livres ont eu un retentissement considérable auprès du grand public, même si, il faut bien le dire, ils ne sont pas toujours faciles à lire.Je vous propose une lecture du quatrième chapitre de Science et Méthode: Le hasard. Une problématique toujours d'actualité en deux parties. « Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi? » Ainsi s'exprime Bertrand au début de son calcul des probabilités. La probabilité est opposée à la certitude. C'est donc ce qu'on ignore et par conséquent, semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit. Et d'abord, qu'est-ce que le hasard? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard. C'était ceux qu'on ne pouvait prévoir parce qu'ils étaient rebelles à toute loi. Dans chaque domaine, les lois précises ne décidaient pas de tout. Elles traçaient seulement les limites entre lesquelles il était permis au hasard de se mouvoir. Dans cette conception, le mot hasard avait un sens précis, objectif. Ce qui est hasard pour l'un est aussi hasard pour l'autre et même pour les dieux. Mais cette conception n'est plus la nôtre. Nous sommes devenus des déterministes absolus. Et ceux même qui veulent réserver les droits du libre arbitre humain laissent du moins le déterminisme régner sans partage dans le monde inorganique. Tout phénomène, si minime qu'il soit, a une cause et un esprit infiniment puissant, infiniment bien informé des lois de la nature, aurait pu le prévoir dès le commencement des siècles. Si un pareil esprit existait, on ne pourrait jouer avec lui à aucun jeu de hasard, on perdrait toujours. Pour lui, en effet, le mot de hasard n'aurait pas de sens, ou plutôt, il n'y aurait pas de hasard. C'est à cause de notre faiblesse et de notre ignorance qu'il y en aurait un pour nous. Et même sans sortir de notre faible humanité, ce qui est hasard pour l'ignorant n'est plus hasard pour le savant. Le hasard n'est que la mesure de notre ignorance. Les phénomènes fortuits sont par définition ceux dont nous ignorons les lois. Mais cette définition est-elle bien satisfaisante? Quand les premiers bergers chaldéens suivaient des yeux les mouvements des astres, ils ne connaissaient pas encore les lois de l'astronomie. Auraient-ils songé à dire que les astres se meuvent au hasard? Si un physicien moderne étudie un phénomène nouveau et s'il en découvre la loi le mardi, aurait-il dit le lundi que ce phénomène était fortuit? Mais il y a plus. N'invoque-t-on pas souvent pour prédire un phénomène ce que Bertrand appelle les lois du hasard? Et par exemple, dans la théorie cinétique des gaz, on retrouve les lois connues de Mariotte et de Gay-Lussac.
Grâce à cette hypothèse que les vitesses des molécules gazeuses varient irrégulièrement, c'est-à-dire au hasard. Les lois observables seraient beaucoup moins simples, diront tous les physiciens, si les vitesses étaient réglées par quelques lois élémentaires simples, si les molécules étaient, comme on dit, organisées, si elles obéissaient à quelques disciplines.C'est grâce au hasard, c'est-à-dire grâce à notre ignorance, que nous pouvons conclure. Et alors, si le mot hasard est tout simplement synonyme d'ignorance, qu'est-ce que cela veut dire? Faut-il donc le traduire comme il suit? Vous me demandez de vous prédire les phénomènes qui vont se produire. Si, par malheur, je connaissais les lois de ces phénomènes, je ne pourrais y arriver que par des calculs inextricables et je devrais renoncer à vous répondre. Mais comme j'ai la chance de les ignorer, je vais vous répondre tout de suite
Et ce qu'il y a de plus extraordinaire, c'est que ma réponse sera juste. Il faut donc bien que le hasard soit autre chose que le nom que nous donnons à notre ignorance, que parmi les phénomènes dont nous ignorons les causes, nous devions distinguer les phénomènes fortuits sur lesquels le calcul des probabilités nous renseignera provisoirement, et ceux qui ne sont pas fortuits et sur lesquels nous ne pouvons rien dire tant que nous n'aurons pas déterminé les lois qui les régissent. Et pour les phénomènes fortuits eux-mêmes, il est clair que les renseignements que nous fournit le calcul des probabilités ne cesseront pas d'être vrais le jour où ces phénomènes seront mieux connus.Le directeur d'une compagnie d'assurance sur la vie ignore quand mourra chacun de ses assurés, mais il compte sur le calcul des probabilités et sur la loi des grands nombres et il ne se trompe pas puisqu'il distribue des dividendes à ses actionnaires. Ces dividendes ne s'évanouiraient pas si un médecin très perspicace et très indiscret venait, une fois les polices signées, renseigner le directeur sur les chances de vie des assurés. Ce médecin dissiperait l'ignorance du directeur, mais il n'aurait aucune influence sur les dividendes qui ne sont évidemment pas un produit de cette ignorance. Pour trouver une meilleure définition du hasard, il nous faut examiner quelques-uns des faits que l'on s'accorde à regarder comme fortuits et auxquels le calcul des probabilités pourrait s'appliquer. Nous rechercherons ensuite quels sont leurs caractères communs. Le premier exemple que nous allons choisir est celui de l'équilibre instable. Si un cône repose sur sa pointe, nous savons bien qu'il va tomber, mais nous ne savons pas de quel côté. Il nous semble que le hasard seul va en décider. Si le cône était parfaitement symétrique, si son axe était parfaitement vertical, s'il n'était soumis à aucune autre force que la pesanteur, il ne tomberait pas du tout. Mais le moindre défaut de symétrie va le faire pencher légèrement d'un côté ou de l'autre et dès qu'il penchera si peu que ce soit, il tombera tout à fait de ce côté. Si même la symétrie est parfaite, une trépidation très légère, un souffle d'air pourra le faire incliner de quelques secondes d'arc, ce sera assez pour déterminer sa chute et même le sens de sa chute qui sera celui de l'inclinaison initiale. Une cause très petite qui nous échappe détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas voir. Et alors, nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la nature et la situation de l'univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même univers à un instant ultérieur. Mais lors même que les lois naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrons connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut. Nous disons que le phénomène a été prévu puisqu'il est régi par des lois.
Mais il n'en est pas toujours ainsi. Il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux. Une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit.Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l'emprunterons à la météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes, nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu'ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l'atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu'un cyclone va naître quelque part. Mais où? Ils sont hors d'état de le dire. Un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là. Il étend ses ravages sur des contrées qu'il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le prévoir d'avance. Mais les observations n'étaient ni assez serrées ni assez précises et c'est pour cela que tout semble dû à l'intervention du hasard.Ici encore, nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l'observateur, et des effets considérables qui sont quelquefois d'épouvantables désastres. Passons à un autre exemple: la distribution des petites planètes sur le zodiaque Leurs longitudes initiales ont pu être quelconques. Mais leur moyen mouvement a été différent et elles circulent depuis si longtemps qu'on peut dire qu'actuellement, elles sont distribuées au hasard le long du zodiaque. De très petites différences initiales entre leur distance au Soleil, ou ce qui revient au même entre leur mouvement moyen, ont fini par donner d'énormes différences entre leurs longitudes actuelles. Un excès d'un millième de seconde dans le mouvement moyen diurne donnera en effet une seconde en trois ans, un degré en dix mille ans, une circonférence entière en trois ou quatre millions d'années. Et qu'est-ce que cela auprès du temps qui s'est écoulé depuis que les petites planètes se sont détachées de la nébuleuse de Lapplace? Voici donc une fois de plus une petite cause et un grand effet, ou mieux, de petites différences dans la cause et de grandes différences dans l'effet.Le jeu de la roulette nous éloigne moins qu'il ne semble de l'exemple précédent. Supposons une aiguille qu'on peut faire tourner autour d'un pivot sur un cadran divisé en cent secteurs alternativement rouges et noirs. Si elle s'arrête sur un secteur rouge, la partie est gagnée, sinon elle est perdue. Tout dépend évidemment de l'impulsion initiale que nous donnons à l'aiguille. L'aiguille fera, je suppose, dix ou vingt fois le tour, mais elle s'arrêtera plus ou moins vite suivant que j'aurais poussé plus ou moins fort.
Seulement, il suffit que l'impulsion varie d'un millième ou d'un demi-millième pour que mon aiguille s'arrête à un secteur qui est noir ou au secteur suivant qui est rouge. Ce sont là des différences que le sens musculaire ne peut apprécier et qui échapperaient même à des instruments plus délicats. Il m'est donc impossible de prévoir ce que va faire l'aiguille que je viens de lancer et c'est pourquoi mon cœur bat et que j'attends tout du hasard.La différence dans la cause est imperceptible et la différence dans l'effet est pour moi de la plus haute importance puisqu'il y va de toute ma mise. Qu'on me permette à ce propos une réflexion un peu étrangère à mon sujet. Un philosophe a dit il y a quelques années que l'avenir était déterminé par le passé, mais que le passé ne l'était pas par l'avenir. Ou en d'autres termes, que de la connaissance du présent, nous pouvions déduire celle de l'avenir, mais non celle du passé. Parce que, disait-il, une cause ne peut produire qu'un effet, tandis qu'un même effet peut être produit par plusieurs causes différentes. Il est clair qu'aucun savant ne peut souscrire à cette conclusion. Les lois de la nature lient l'antécédent au conséquent, de telle sorte que l'antécédent est déterminé par le conséquent aussi bien que le conséquent par l'antécédent. Mais quelle a pu être l'origine de l'erreur de ce philosophe? Nous savons qu'en vertu du principe de Carnot, les phénomènes physiques sont irréversibles et que le monde tend vers l'uniformité. Quand deux corps de températures différentes sont en présence, le plus chaud cède de la chaleur au plus froid et nous pouvons donc prévoir que les températures s'égaliseront. Mais une fois que les températures seront devenues égales, si on nous interroge sur l'état antérieur, que pourrons-nous répondre? Nous dirons bien que l'un des deux corps était chaud et l'autre froid, mais nous ne pourrons pas deviner lequel des deux était autrefois le plus chaud. Et cependant, en réalité, les températures n'arrivent jamais à l'égalité parfaite. La différence des températures tend seulement vers zéro d'une façon asymptotique. Il arrive alors un moment où nos thermomètres sont impuissants à la déceler. Mais si nous avions des thermomètres mille fois, cent mille fois plus sensibles, nous reconnaîtrions qu'il subsiste encore une petite différence et que l'un des corps est resté un peu plus chaud que l'autre. Et alors, nous pourrions affirmer que c'est celui-là qui a été autrefois bien plus chaud que l'autre.Il y a donc alors, contrairement à ce que nous avons vu dans les exemples précédents, de grandes différences dans la cause et de petites différences dans l'effet. Flammarion avait imaginé autrefois un observateur qui s'éloignerait de la Terre avec une vitesse plus grande que celle de la lumière. Pour lui, le temps serait changé de signe. L'histoire serait retournée. Et Waterloo précéderait Austerlitz. Eh bien, pour cet observateur, les effets et les causes seraient intervertis. L'équilibre instable ne serait plus l'exception.
À cause de l'irréversibilité universelle, tout lui semblerait sortir d'une sorte de chaos en équilibre instable. La nature entière lui apparaîtrait comme livrée au hasard.Voici maintenant d'autres exemples où nous allons voir des caractères un peu différents. Prenons d'abord la cinétique des gaz. Comment devons-nous nous représenter un récipient rempli de gaz? D'innombrables molécules animées de grandes vitesses sillonnent ce récipient dans tous les sens. À chaque instant, elles choquent les parois ou bien se choquent entre elles. Et ces chocs ont lieu dans des conditions les plus diverses. Ce qui frappe surtout, ce n'est pas la petitesse des causes, c'est leur complexité. Et cependant, le premier élément se retrouve encore ici et joue un rôle important. Si une molécule était déviée vers la gauche ou la droite de sa trajectoire, d'une quantité très petite, comparable au rayon d'action des molécules gazeuses, elle éviterait un choc ou elle le subirait dans des conditions différentes et cela ferait varier peut-être de quatre-vingt-dix degrés ou de cent quatre-vingt degrés la direction de la vitesse après le choc. Et ce n'est pas tout. Il suffit, nous venons de le voir, de dévier la molécule avant le choc d'une quantité infiniment petite pour qu'elle soit déviée après le choc d'une quantité finie. Si alors la molécule subit deux chocs successifs, il suffira de la dévier avant le premier choc d'une quantité infiniment petite du second ordre pour qu'elle le soit après le premier choc d'une quantité infiniment petite du premier ordre et après le second choc d'une quantité finie. Et la molécule ne subira pas deux chocs seulement, elle en subira un très grand nombre par seconde, de sorte que si le premier choc a multiplié la déviation par un très grand nombre A, après N chocs, elle sera multipliée par A à la puissance N. Elle sera donc devenue très grande, non seulement parce que A est grand, c'est-à-dire parce que les petites causes produisent de grands effets, mais parce que l'exposant N est grand, c'est-à-dire parce que les chocs sont très nombreux et que les causes sont très complexes.Passons à un deuxième exemple. Pourquoi, dans une averse, les gouttes de pluie nous semblent-elles distribuées au hasard? C'est encore à cause de la complexité des causes qui déterminent leur formation. Des ions se sont répandus dans l'atmosphère. Pendant longtemps, ils ont été soumis à des courants d'air constamment changeants. Ils ont été entraînés dans des tourbillons de très petites dimensions, de sorte que leur distribution finale n'a plus aucun rapport avec leur distribution initiale. Tout à coup, la température s'abaisse, la vapeur se condense et chacun de ces ions devient le centre d'une goutte de pluie. Pour savoir quelle sera la distribution de ces gouttes et combien il en tombera sous chaque pavé, il ne suffirait pas de connaître la situation initiale des ions. Il faudrait supputer l'effet de mille courants d'air minuscules et capricieux. Et c'est encore la même chose si on met des grains de poussière en suspension dans l'eau.
Le vase est sillonné par des courants dont nous ignorons la loi. Nous savons seulement qu'elle est très compliquée. Au bout d'un certain temps, les grains seront distribués au hasard, c'est-à-dire uniformément dans ce vase. Et cela est dû précisément à la complication de ces courants.S'ils obéissaient à quelques lois simples, si, par exemple, le vase était de révolution et si les courants circulaient autour de l'axe du vase en décrivant des cercles, il n'en serait plus de même puisque chaque grain conserverait sa hauteur initiale et sa distance initiale à l'axe. On arriverait au même résultat en envisageant le mélange de deux liquides ou de deux poudres à grains fins. Et pour prendre un exemple plus grossier, c'est aussi ce qui arrive quand on bat les jeux de cartes. À chaque coup, les cartes subissent une permutation analogue à celle qu'on étudie dans la théorie des substitutions. Quelle est celle qui se réalisera? La probabilité pour que ce soit telle permutation, par exemple celle qui amène au rang N la carte qui occupait le rang phi de N avant la permutation, cette probabilité, dis-je, dépend des habitudes du joueur. Mais si ce joueur bat les cartes assez longtemps, il y aura un grand nombre de permutations successives et l'ordre final qui en résultera ne sera plus régi que par le hasard. Je veux dire que tous les ordres possibles seront également probables. C'est au grand nombre des permutations successives, c'est-à-dire à la complexité du phénomène, que ce résultat est dû.Un mot enfin sur la théorie des erreurs. C'est ici que les causes sont complexes et qu'elles sont multiples. À combien de pièges n'est pas exposé l'observateur, même avec le meilleur instrument? Il doit s'attacher à apercevoir les plus gros et à les éviter. Ce sont ceux qui donnent naissance aux erreurs systématiques. Mais quand il les a éliminés, en admettant qu'il y parvienne, il en reste beaucoup de petits, mais qui, en accumulant leurs effets, peuvent devenir dangereux. C'est de là que proviennent les erreurs accidentelles. Et nous les attribuons au hasard parce que leurs causes sont trop compliquées et trop nombreuses.Ici encore, nous n'avons que de petites causes, mais chacune d'elles ne produirait qu'un petit effet. C'est par leur union et par leur nombre que leurs effets deviennent redoutables. On peut se placer encore à un troisième point de vue qui a moins d'importance que les deux premiers et sur lequel j'insisterai moins. Quand on cherche à prévoir un fait et qu'on examine les antécédents, on s'efforce de s'enquérir de la situation intérieure, mais on ne saurait le faire pour toutes les parties de l'univers. On se contente de savoir ce qui se passe dans le voisinage du point où le fait doit se produire ou ce qui paraît avoir quelque rapport avec ce fait. Une enquête ne peut être complète et il faut savoir choisir. Mais il peut arriver que nous ayons laissé de côté des circonstances qui, au premier abord, semblaient complètement étrangères au fait prévu, auxquelles on n'avait jamais songé à attribuer aucune influence et qui cependant, contre toute prévision, viennent à jouer un rôle important.
Un homme passe dans la rue en allant à ses affaires. Quelqu'un qui aurait été au courant de ses affaires pourrait dire pour quelle raison il est parti, à quelle heure et pourquoi il a passé par telle rue.Sur le toit travaille un couvreur. L'entrepreneur qui l'emploie pourra, dans une certaine mesure, prévoir ce qu'il va faire. Mais l'homme ne pense guère au couvreur, ni le couvreur à l'homme. Ils semblent appartenir à deux mondes complètement étrangers l'un à l'autre. Et pourtant, le couvreur laisse tomber une tuile qui tue l'homme. Et on n'hésitera pas à dire que c'est là un hasard.Notre faiblesse ne nous permet pas d'embrasser l'univers tout entier et nous oblige à le découper en tranches. Nous cherchons à le faire aussi peu artificiellement que possible et néanmoins, il arrive de temps en temps que deux de ces tranches réagissent l'une sur l'autre. Les effets de cette action mutuelle nous paraissent alors dus au hasard. Est-ce là une troisième manière de concevoir le hasard? Pas toujours. En effet, la plupart du temps, on est ramené à la première ou à la seconde.Toutes les fois que deux mondes, généralement étrangers l'un à l'autre, viennent ainsi à réagir l'un sur l'autre, les lois de cette réaction ne peuvent être que très complexes. Et d'autre part, il aurait suffi d'un très petit changement dans les conditions initiales de ces deux mondes pour que la réaction n'eût pas lieu, qu'il aurait fallu peu de choses pour que l'homme passât une seconde plus tard ou que le couvreur laissât tomber sa tuile une seconde plus tôt. Et vous avez bien sûr reconnu les Gymnopédies de Satie.
Petite histoire de science avec Étienne Ghys. Le podcast de l'Académie des sciences. Canal Académie.
