L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à l’erreur dans les sciences. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces émissions, à lire ci-dessous.
Au XIXe siècle, le mathématicien Siméon Denis Poisson tente d’appliquer le calcul des probabilités à une question aussi délicate que concrète : combien de personnes sont condamnées ou acquittées à tort par les tribunaux ?
Étienne Ghys revient sur son ouvrage de 1837, Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, dans lequel Poisson utilise les statistiques judiciaires pour mesurer la fiabilité des jurés et interroger mathématiquement le fonctionnement de la justice.
Siméon Denis Poisson n’est pas connu du grand public, mais il a laissé une œuvre immense en physique et en mathématiques. Né en 1781, mort en 1840, il a été élu à l’Académie des sciences en 1812.
Dans cette série sur les erreurs en sciences, je voudrais parler des erreurs judiciaires, et dire quelques mots de son livre paru en 1837. Peut-on estimer le nombre de personnes condamnées à tort pour un crime qu’elles n’ont pas commis ? Peut-on estimer le nombre de personnes acquittées à tort pour un crime qu’elles ont commis ? C’est la question que Poisson étudie.
Il n’est pas le premier. Au moins deux mathématiciens célèbres l’ont précédé : Condorcet, avec son Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix, publié en 1785, et Laplace, qui revient sur ces questions en 1825 dans son Essai philosophique sur les probabilités.
Le livre de Poisson contient beaucoup de choses — la description de la loi des grands nombres, mais aussi la fameuse loi de Poisson, dite des événements rares.
Douze jurés
Voici le problème qu’il se pose, typique des mathématiques de son époque, qui se veulent enfin utiles à la société.
Entre 1825 et 1830, les cours d’assises fonctionnaient ainsi : un jury de douze jurés votait pour décider de la culpabilité d’un inculpé. Lorsque l’opinion était majoritaire pour la culpabilité, avec au moins huit voix contre quatre, l’inculpé était condamné. Lorsque la majorité n’était que de sept contre cinq, on faisait appel aux cinq juges professionnels pour trancher.
Poisson dispose des statistiques publiées dans les Comptes généraux de l’administration de la justice criminelle. Il connaît le nombre total de procès en cours d’assises en France durant ces six années : 11 116 accusés de crimes contre les personnes. Il connaît, parmi eux, le nombre de condamnations à la majorité d’au moins huit jurés, ainsi que le nombre de fois où il a fallu faire appel aux juges professionnels.
Il connaît donc deux proportions. Celle des inculpés condamnés par une majorité d’au moins huit jurés : 47 %, précisément 0,4782. Et celle des inculpés pour lesquels exactement sept jurés sur douze ont voté coupable : 0,1151.
Deux inconnues
Selon Poisson, il y a deux inconnues dans ce problème : la probabilité x pour qu’un inculpé qui se présente devant le tribunal soit coupable, et la probabilité y pour qu’un juré tiré au hasard ne se trompe pas lorsqu’il vote.
Il se fait un devoir de montrer comment calculer les deux proportions connues en fonction de x et de y. Ce n’est pas très difficile aujourd’hui, mais il faut retenir ceci : puisqu’on connaît ces proportions, on dispose de deux équations à deux inconnues, et l’on peut donc espérer calculer x et y. Certes, ces équations sont de degré douze. C’est très difficile.
Cela n’effraie pas Poisson, qui trouve les solutions sans avoir besoin, lui, de logiciel de calcul. Il trouve x = 0,54 et y = 0,68.
Ainsi, un juré a raison deux fois sur trois, et un inculpé est coupable 54 fois sur 100. Ce sont là les chiffres pour les jugements qu’il appelle criminels : il considère en fait plusieurs types de procès.
Deux pour cent d’innocents
Poisson ne s’arrête pas là. Il calcule ensuite la probabilité qu’un condamné le soit à tort. Il trouve 0,02 : deux fois sur cent. Cela fait environ dix-huit cas par an.
De même, il trouve une probabilité de 0,72 qu’un inculpé déclaré innocent le soit effectivement. Deux pour cent d’innocents dans les prisons, vingt-huit pour cent de coupables innocentés : c’est trop.
Mais une discussion passionnante commence : quelle est la limite qu’une société juste peut se permettre ? Voici ce qu’écrit Poisson :
« Dans cette importante question d’humanité et d’ordre public, rien ne pourrait remplacer les formules analytiques qui expriment ces diverses probabilités. Sans leur secours, s’il s’agissait de changer le nombre de jurés ou de comparer deux pays où il fût différent, comment saurait-on qu’un jury constitué de douze personnes et jugeant à la majorité de huit contre quatre offre plus ou moins de garantie aux accusés et à la société qu’un autre jury, composé de neuf personnes par exemple, pris sur la même liste qu’auparavant et jugeant avec telle ou telle majorité ? »
Les juges se trompent autant
Poisson ne s’arrête toujours pas là. Dans le cas où la majorité n’est que de sept contre cinq, les juges professionnels entrent en action — et l’on connaît aussi le nombre de cas où ils ont prononcé une condamnation. On peut donc refaire l’exercice et calculer la probabilité qu’un juge professionnel se trompe.
Poisson trouve qu’elle est égale à celle des jurés populaires. Il écrit :
« Malgré une plus grande expérience des procès criminels que les juges ont sans doute, leur chance de ne pas se tromper dans leur vote paraît cependant peu différente de celle des jurés. »
Il cherche ensuite quelle serait la bonne taille d’un jury, et la bonne majorité à exiger pour condamner. Il compare les systèmes français, belge et anglais.
Tout cela est complexe, bien sûr. Parfois les jurés votent à bulletin secret, parfois non. Parfois ils peuvent déclarer des circonstances atténuantes, ce qui les encourage à hésiter moins à voter coupable. Et les valeurs de x et y semblent différentes pour les crimes contre les personnes et pour les crimes contre les biens. Poisson discute de tout cela.
Le livre est long, un peu trop parfois — mais son introduction ne fait que vingt pages, elle est agréable à lire et ne contient aucune formule. Elle nous montre l’un des premiers exemples de recherche mathématique en sciences humaines, et j’en recommande vivement la lecture.
Et aujourd’hui ?
Un procès d’assises compte aujourd’hui neuf jurés, douze en appel.
En 2021, les cours d’assises et les cours criminelles départementales ont condamné en premier ressort près de 1 900 personnes et en ont acquitté 155, soit un taux d’acquittement de 5,1 %. Près d’une personne jugée sur dix est mineure. Trente et un pour cent des arrêts rendus ont été frappés d’appel. Les cours d’appel ont prononcé 530 arrêts, portant condamnation de 760 personnes et 50 acquittements. Le taux d’acquittement en appel, 6,3 %, est plus élevé qu’en premier ressort.
Mais toute comparaison avec les chiffres de 1825 serait audacieuse.
Le professeur
Voici ce qu’écrit Arago en parlant de Poisson :
« Poisson n’était pas seulement né géomètre, il était de plus né professeur. Communiquer verbalement à autrui le fruit de ses propres recherches, ou le résultat des découvertes des autres mathématiciens, semblait chez lui un véritable besoin. »
« La qualité principale de Poisson, comme professeur, était une incomparable clarté. Peut-être, en cherchant bien, eût-on trouvé parmi les prédécesseurs ou les contemporains de notre confrère des professeurs à l’élocution plus facile, à la phrase plus étudiée et plus élégante. Mais on n’en citerait certainement pas dont l’enseignement fût plus profitable à son auditoire. »
On dit que Poisson déclarait : « La vie n’est bonne qu’à deux choses : découvrir des mathématiques et enseigner les mathématiques. »
Pas mal, non ?
