L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à l’erreur dans les sciences. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Un texte mathématique peut-il être un classique fondateur tout en contenant une erreur ? Dans Les Neuf Chapitres sur les procédures mathématiques, ouvrage majeur de la tradition chinoise, une procédure consacrée au volume de la sphère pose précisément ce problème.
Avec l’historienne des mathématiques Karine Chemla, Étienne Ghys revient sur la manière dont un commentateur chinois du IIIe siècle identifie cette erreur, la démontre grâce à un objet géométrique, puis laisse à ses successeurs le soin d’aller plus loin.
Étienne Ghys : Je suis face à Karine Chemla. Pourrais-tu te présenter en trois mots ?
Karine Chemla : Je travaille sur l’histoire des mathématiques, le plus souvent en Chine, mais pas seulement.
Étienne Ghys : Nous allons discuter aujourd’hui des erreurs dans les sciences. J’aimerais que tu prennes un exemple concret, si possible facile à comprendre, d’une erreur qui te semble pleine de sens.
Karine Chemla : J’ai envie de parler d’une erreur dénoncée par un commentateur chinois du IIIe siècle, quand il lit un texte canonique très important du Ier siècle : Les Neuf Chapitres sur les procédures mathématiques.
Étienne Ghys : Ce livre, c’est ton sujet de toujours. Tu as beaucoup travaillé dessus.
Karine Chemla : Il a été écrit il y a à peu près deux mille ans. C’est un ouvrage structuré comme un ensemble de problèmes et de procédures — on peut dire d’algorithmes — de calcul qui permettent de les résoudre.
Étienne Ghys : Ce sont des problèmes de géométrie, de calcul, d’algèbre, un peu tout mélangé. Un peu comme les livres de problèmes qu’on trouve en Europe à la Renaissance.
Karine Chemla : L’une des questions sur lesquelles j’ai le plus travaillé dans ma vie, c’est : qu’est-ce qu’un problème mathématique ?
Je suis partie de l’idée qu’un livre ancien comme Les Neuf Chapitres, constitué de 246 problèmes, était considéré comme un classique monumental alors qu’il parle de lapins poursuivis par des chiens, ou de roseaux qui dépassent de la surface d’une mare et qu’on tire jusqu’au rivage. Si on lisait ces problèmes sans approche historique, on risquerait de confondre ces ouvrages avec des recueils d’exercices comme on en trouve aujourd’hui en librairie — et on passerait à côté de ce que les gens, il y a deux mille ans en Chine, ont fait avec ces problèmes.
Étienne Ghys : Revenons aux Neuf Chapitres.
Karine Chemla : On n’est pas tous d’accord sur la datation, mais ce n’est pas grave : moi, je le place au Ier siècle de notre ère. Cet ouvrage a été suffisamment important pour que beaucoup de gens écrivent des commentaires.
Dans Les Neuf Chapitres, on n’a que des problèmes et des procédures. Ce que font les commentaires, c’est qu’ils écrivent explicitement les raisonnements qui, à leurs yeux, sous-tendaient ces procédures.
J’ai choisi un exemple où le commentateur restitue un raisonnement en disant : ce raisonnement est faux. Ce qui montre, contrairement à l’idée qu’on s’en fait souvent, que ce n’est pas parce qu’un ouvrage est un classique immense que ceux qui le commentent auront un respect tel que, même s’il y a des erreurs, ils n’en parleront pas.
Étienne Ghys : Le commentateur écrit donc plusieurs siècles plus tard.
Karine Chemla : Un commentateur du IIIe siècle, qui achève son commentaire en 263.
Étienne Ghys : Tu ne m’as pas donné le nom de l’auteur des Neuf Chapitres.
Karine Chemla : On ne sait pas qui a mis la dernière main aux Neuf Chapitres. C’est un peu comme Euclide : on attribue Les Éléments à un nom propre, sans très bien savoir ce qu’est Euclide.
Le problème de la sphère
Karine Chemla : L’un des problèmes des Neuf Chapitres, assez abstrait, consiste à donner le volume d’une sphère. Il y en a deux ou trois sur ce thème. Dans le dernier, le volume est absolument gigantesque — peut-être pense-t-on à des questions cosmologiques — et l’on demande, sachant le volume, quel est le diamètre de cette sphère.
Étienne Ghys : C’est l’occasion de te demander : du côté occidental, on avait eu Archimède, on avait eu Euclide, on connaissait la formule du volume d’une sphère. Qu’en était-il du côté chinois ?
Karine Chemla : Les Neuf Chapitres contiennent un algorithme pour résoudre ce problème, qui doit donc utiliser une formule pour le volume de la sphère.
Étienne Ghys : Rappelons que le volume d’une sphère de rayon R vaut quatre tiers de pi R cube. C’est une façon extrêmement moderne de noter la question — on n’y pensait pas comme ça, ni du côté chinois ni du temps d’Archimède.
Karine Chemla : Du côté d’Archimède, on pensait en termes de rapports entre les volumes des sphères et de rapports entre les cubes de leurs diamètres.
La procédure des Neuf Chapitres, telle que la comprend le commentateur, transforme le volume de la sphère en volume du cube qui la contient en la touchant. Elle applique ensuite une procédure d’extraction de la racine cubique, qui, étant donné le volume d’un cube, en trouve le côté. On trouve dans Les Neuf Chapitres l’extraction de la racine carrée, qui donne le côté d’un carré à partir de son aire, et également celle de la racine cubique.
Étienne Ghys : De manière approximative, bien sûr, grâce à une itération. Excuse-moi, je suis trop bavard.
Karine Chemla : Tu n’es pas bavard, tu es curieux !
Ce que fait la procédure, c’est qu’elle multiplie le volume de la sphère par seize, le divise par neuf, et demande d’extraire la racine cubique.
Le commentateur dit alors : cette procédure repose sur l’idée que la sphère occupe neuf seizièmes du cube qui la contient en la touchant. C’est là le raisonnement qu’ont fait les auteurs de la procédure. Mais ce raisonnement est faux.
L’objet qui fait la preuve
Étienne Ghys : Et comment le montre-t-il ?
Karine Chemla : Pour montrer que ce raisonnement est faux, il va trouver le solide dont le rapport au cube en question est bien de neuf seizièmes. Il exhibe ce solide, montre qu’il contient la sphère tout en étant différent d’elle — et il conclut que le raisonnement est faux.
Étienne Ghys : Le « donc » me semble un peu rapide. Tout dépend du volume qu’il trouve : ce solide pourrait très bien avoir le même volume que la sphère.
Karine Chemla : Sauf que la sphère est strictement contenue dans le solide qu’il trouve.
Étienne Ghys : Voyons si j’ai bien compris. Il construit à l’intérieur du cube un objet dont il peut montrer que le volume vaut exactement neuf seizièmes de celui du cube, et cet objet contient strictement la sphère. Donc le texte chinois a tort.
Karine Chemla : Le classique avait tort.
J’ajoute un bémol : pour considérer que ce solide vaut exactement neuf seizièmes du cube, il faut prendre pi égal à trois — parce que derrière le neuf, il y a en fait pi fois pi qui se cache.
Étienne Ghys : Et pi égal à trois, c’est bien ce qui est écrit dans la Bible, n’est-ce pas ?
Karine Chemla : C’est ce qui y est écrit, et on peut réfléchir à la signification de ce choix. Mais ce qui m’intéresse davantage, c’est que, pour montrer une erreur, il exhibe un objet.
Et figure-toi que cet objet est exactement celui que considère Archimède lorsqu’il travaille sur le volume de la sphère. Il prend le cube et le traverse par un cylindre qui en touche les côtés.
Étienne Ghys : Il inscrit le cylindre à l’intérieur du cube.
Karine Chemla : Voilà. Puis il prend un second cylindre, d’axe perpendiculaire au premier, et l’inscrit de la même manière. L’intersection de ces deux cylindres — précisément l’objet que considérera Archimède — a un rapport au cube de pi carré sur seize, mais ce n’est pas la sphère.
Si les deux cylindres qui coupent le cube sont d’axes horizontaux et que tu regardes les coupes, tu verras qu’à chaque coupe horizontale tu obtiens un carré, alors que le même plan coupe dans la sphère un cercle inscrit dans ce carré.
Étienne Ghys : Donc l’objet construit est plus gros que la sphère.
Karine Chemla : Et là, le commentateur du IIIe siècle s’arrête. Il dit : je sais que c’est faux, mais je ne sais pas calculer le volume de cet objet que j’ai introduit.
Il se trouve donc devant une erreur qu’il dénonce en introduisant un solide qui la met en évidence, mais il s’arrête sans pouvoir aller plus loin.
Étienne Ghys : Il a compris que le classique chinois était faux, et il le dit explicitement.
Karine Chemla : Il le dit explicitement : Les Neuf Chapitres se trompent sur ce point.
Tu remarques qu’il fait un raisonnement exact pour montrer que la procédure est fausse. Il reconstitue ce qu’il voit derrière la procédure — ce que font systématiquement les commentateurs — puis il dit que ce raisonnement est faux, et il exhibe un objet qui le met en évidence.
Étienne Ghys : Sa conclusion, c’est : j’ai trouvé l’erreur, mais je n’ai pas de procédure pour calculer le volume d’une boule. Y a-t-il un peu d’arrogance dans son commentaire vis-à-vis de son prédécesseur ?
Karine Chemla : Pas du tout. Il est triste de ne pas pouvoir aller plus loin.
Trois siècles plus tard
Étienne Ghys : Quelle est la suite des événements ?
Karine Chemla : Au VIe siècle arrive un autre commentateur, qui va découper le volume introduit en une multitude de tranches — comme on le fait souvent aujourd’hui quand on veut calculer un volume. Il réussit à établir que le volume de ce solide, toujours en prenant pi égal à trois, vaut la moitié du volume du cube. Il parvient ainsi à une autre procédure.
Étienne Ghys : Au VIe siècle, ces savants chinois n’ont aucune connaissance ni d’Archimède ni d’Euclide.
Karine Chemla : Aucune trace ne nous est parvenue. Et l’approche des objets est complètement différente : en Chine, si tu prends une sphère, son diamètre est associé à une longueur qui est un nombre, et le volume est un nombre qu’il faut calculer. Il y a donc une approche des objets géométriques qui leur associe des nombres — alors que chez Euclide, tu ne diras jamais que tel volume est à tel volume comme telle autre grandeur géométrique, comme le faisaient les Grecs.
Étienne Ghys : Quand ces maîtres chinois parlaient de volume, l’exprimaient-ils par un nombre ? Avaient-ils quelque chose comme une unité, un mètre cube ?
Karine Chemla : Il y a une technique pour exprimer les volumes à l’aide des unités de longueur. Un volume de n chi — le chi étant l’unité de longueur — signifie que ce volume a la même mesure qu’un parallélépipède dont la base serait un carré d’un chi de côté, et dont la hauteur serait de n chi. C’est donc par la hauteur, une fois l’unité choisie, qu’on mesurait le volume.
Étienne Ghys : Ce n’est pas très loin du mètre cube. Si l’on résume cette histoire : une erreur est détectée par un descendant — pas un élève — elle est explicitée, et elle est le départ de nouvelles découvertes. Comment interpréterais-tu cette histoire aujourd’hui ?
Karine Chemla : Qu’il est extrêmement important de se tromper. Et que le jour où l’on comprend qu’on s’est trompé, et qu’on regarde pourquoi, on fait de grandes découvertes.
Il ne faut pas avoir peur de se tromper : c’est le début de magnifiques choses.
Étienne Ghys : Aimes-tu la musique ? Et si oui, laquelle illustrerait tout cela ?
Karine Chemla : Un peu de Bach, un peu d’Offrande musicale, ce serait parfait. Tout cela est géométrique, tout cela est régulier — mettons un peu de Bach.
