L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à l’erreur dans les sciences. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces émissions, à lire ci-dessous.
Une erreur découverte vingt-quatre ans après la publication d’un article : pour un mathématicien, le scénario a de quoi provoquer quelques sueurs froides. Étienne Ghys raconte ce moment d’angoisse où l’un de ses anciens étudiants lui signale une faille dans la démonstration d’un théorème.
Entre souvenirs de recherche, erreurs réparables et résultats cités sans avoir été suffisamment vérifiés, il revient sur une réalité incontournable de la science : même en mathématiques, l’erreur fait partie du travail du chercheur.
Le 30 avril 2024, l’Académie des sciences organisera un colloque intitulé L’erreur dans les sciences. Sept scientifiques de disciplines différentes présenteront des exemples d’erreurs, parfois très anciennes, parfois récentes, parfois ayant eu des conséquences catastrophiques dans l’histoire des sciences ou, au contraire, des conséquences bénéfiques.
Aujourd’hui, je voudrais vous présenter une erreur, ou presque une erreur, qui s’est présentée dans ma carrière de mathématicien.
L’angoisse
C’était le 15 janvier 2009, à 17 heures 3 minutes et 48 secondes. Je recevais un message électronique de Bertrand, au sujet d’une relation moyennable.
À l’intérieur du flot de mes mails quotidiens, à l’ouverture du message, c’est l’angoisse : Bertrand vient de trouver une erreur dans une note aux Comptes rendus de l’Académie des sciences que j’ai écrite il y a vingt-quatre ans.
En deux secondes, je comprends que Bertrand a bien vérifié ce qu’il dit avant d’envoyer son mail, et qu’il a probablement raison.
Il faudra au moins que je trouve une copie de cet article. Je fouille dans mon armoire : impossible de remettre la main sur cette vieillerie qui, je le pensais, n’intéressait plus personne.
Malheureusement, les articles de cette revue n’étaient pas accessibles sur Internet. Je descends très vite à la bibliothèque, mais les volumes sont archivés lorsqu’ils ont plus de quinze ans d’âge.
Finalement, j’obtiens une copie de l’article.
Verdict immédiat : Bertrand a raison. La preuve du théorème 2 est fausse.
Angoisse confirmée.
Tout le monde a horreur des erreurs, mais les mathématiciens ont peut-être encore plus peur des erreurs. On aime les théorèmes corrects.
Vite fait, j’accuse réception du message à Bertrand et je lui promets d’y réfléchir.
Quand je pense que Bertrand n’était pas né quand j’ai écrit cet article…
Les souvenirs
Il faut que je rentre à la maison et, sur le chemin du retour, je pense à ce théorème.
Les souvenirs remontent : mon état d’esprit du moment, les circonstances précises autour de la démonstration de ces théorèmes, les premières tentatives, les échecs.
Je me souviens de ce que je cherchais à démontrer et que je n’arrivais pas à faire, du petit résultat partiel que j’avais obtenu et gardé en tête près d’un an.
Je me souviens de cette conversation avec Dennis, un collègue, à qui j’avais raconté ce petit truc. Je me souviens de son enthousiasme, de la façon dont il m’avait félicité pour avoir presque résolu une question qui lui semblait intéressante.
Dennis m’avait conduit immédiatement dans le bureau d’Alain. Je lui avais raconté mon truc, ça lui avait plu. Il m’avait encouragé à écrire très vite une note aux Comptes rendus.
Et j’apprends, vingt-quatre ans plus tard, qu’elle est fausse.
Non, ce n’est plus de l’angoisse, mais de la déception, même si je n’ai jamais été très fier de ce truc.
La petite astuce
Mais ce qui me revient aussi, ce sont mes lectures de l’époque. Et je prends conscience que je ne peux pas avoir fait cette erreur précise.
J’avais déjà vu un piège analogue dans un article que j’avais lu à l’époque, et je me souviens que j’avais apprécié la parade. Une petite astuce, mais jolie comme tout.
Alors, sur le chemin du retour, je comprends que cette même petite astuce règle aussi le problème dans mon article.
Bertrand a raison : la démonstration du théorème 2 n’est pas correcte telle qu’elle est rédigée. Mais, avec la petite astuce, on peut réparer ça en trois lignes.
Ouf, tout va bien.
Fin de l’angoisse. Un petit mail à Bertrand pour lui expliquer la petite astuce.
Un détail : Bertrand est l’un de mes anciens étudiants. Souhaitait-il tuer le père mathématique ? Je préfère me sentir honoré qu’il lise ce vieux manuscrit.
La suite de l’article
Un mot, peut-être, sur la suite de cet article.
Je l’ai dit, il ne démontrait pas le théorème que je voulais démontrer. Il ne faisait que démontrer un cas particulier.
Mais j’avais posé une question : un sous-groupe dense d’un groupe de Lie semi-simple contient-il un sous-groupe libre et dense ? Et j’avais montré qu’une réponse positive à cette question entraînerait la solution du problème général, qui m’intéressait vraiment.
Un an plus tard, je recevais la solution du problème général par un certain Zimmer. Mais sa preuve m’était incompréhensible et ne passait pas par la question que j’avais posée, qui restait donc ouverte.
Je me souviens de ma frustration face à la solution générale, alors que je ne comprenais presque rien à la preuve.
Et puis le temps a passé.
Note maudite
Et puis, il y a une dizaine d’années, alerte : Vadim Kaimanovich me signale que le théorème 4 de ma note est faux.
Fausse alerte, en fait. Enfin, demi-alerte, en quelque sorte.
Le théorème 4 annonce en effet l’équivalence entre deux propriétés, P et Q. Et je disais simplement : le fait que P entraîne Q est déjà un théorème de M. B., alors je vais me contenter de montrer que Q entraîne P.
Et il se trouve que le théorème de M. B. est faux.
Mais ce qui est contenu dans l’article est correct : Q entraîne P. Et c’est la seule chose qui m’importait, en fait.
Note maudite ! J’aurais dû vérifier le théorème de M. B. avant de le citer.
La suite de l’histoire est que deux collègues ont complètement résolu la question de manière magistrale en 2003. Mais il faut bien dire que leurs démonstrations et leurs preuves vont beaucoup, beaucoup, beaucoup plus loin.
Je me demande si j’aurais parlé de tout ça si cet article avait été vraiment faux. Aurais-je eu le culot de l’avouer publiquement ?
Vous avez tous reconnu la fameuse scène de la douche dans le film Psychose d’Hitchcock, avec cette musique angoissante de Bernard Herrmann, et le Concerto pour piano n° 23 de Mozart interprété par Hélène Grimaud.
Vous avez vu : la vie d’un mathématicien est parfois semée de moments d’angoisse.
