L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à l’erreur dans les sciences. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
En mathématiques, l’erreur est généralement perçue comme quelque chose qu’il faudrait à tout prix éviter. Pour David Bessis, c’est presque l’inverse : ne jamais se tromper peut être le signe que l’on n’ose pas suffisamment explorer.
Avec Étienne Ghys, l’ancien mathématicien revient sur ses propres erreurs, sur celles de ses collègues et sur la place qu’elles devraient occuper dans l’apprentissage des mathématiques. De son « 27 = 32 » en classe de quatrième aux intuitions de Hilbert sur les limites des systèmes formels, une conversation sur l’erreur comme moteur de compréhension et de découverte.
Étienne Ghys : Je suis face à David Bessis, que je considère comme un mathématicien. Est-ce que cette description te convient ?
David Bessis : Écoute, j’ai été mathématicien professionnel. Je ne le suis plus aujourd’hui parce que j’ai arrêté de faire de la recherche et j’ai quitté toute fonction liée à l’enseignement et à la recherche. Cela dit, je crois que les séquelles cérébrales sont irréversibles, donc je reste mathématicien encore aujourd’hui.
Étienne Ghys : Tu as aussi écrit un livre qui s’appelle Mathematica, que je recommande à tout le monde. Mais j’aimerais qu’on parle plutôt de la manière dont tu perçois les erreurs en sciences ou en mathématiques. Aurais-tu un exemple d’une erreur qui t’a marqué ?
David Bessis : Ce qui m’a marqué, et là je vais parler de manière très personnelle, c’est la difficulté que j’ai eue à faire des erreurs en maths.
Ça peut sembler paradoxal. On peut avoir l’impression que, pour faire des maths et pour être bon en maths, il faut ne pas faire d’erreurs. Or, je suis arrivé à la conclusion — et je ne suis pas tout seul à y arriver — qu’il faut impérativement en faire. Si on n’en fait pas, c’est mauvais signe. Ça veut dire qu’il y a une inhibition quelque part. Parce qu’en fait, quand on fait des maths, on navigue à vue. Les choses sont dures, elles sont incompréhensibles, et si on ne s’autorise pas à faire des erreurs, on se condamne à rester assez immobile. Il y a une très belle phrase de Grothendieck dans Récoltes et Semailles sur l’erreur. Il décrit son rôle comme absolument moteur dans la découverte du monde mathématique. Et il dit que craindre l’erreur et craindre la vérité, c’est la même chose. C’est-à-dire que celui qui a trop peur d’être pris en flagrant délit, par lui-même, de ses propres erreurs, va avoir tendance à rester arc-bouté sur les idées fausses qu’il a dans sa tête, sans oser les mener jusqu’au bout et jusqu’à la contradiction.
Étienne Ghys : David m’a recommandé, pour illustrer l’erreur, cette chanson de Depeche Mode intitulée Wrong. En voici les premières phrases, traduites : « Je suis né avec le mauvais signe, dans la mauvaise maison, avec le mauvais ascendant. J’ai pris la mauvaise route qui m’a conduit aux mauvaises tendances. J’étais au mauvais endroit, au mauvais moment. » Est-ce que tu as un exemple précis à nous raconter, quitte à te dévoiler toi-même ?
David Bessis : J’ai deux exemples qui me viennent en tête. D’abord, une erreur que j’ai faite à une époque où j’étais plus audacieux et plus arrogant qu’aujourd’hui. J’ai un souvenir très précis, en classe de quatrième, pendant un devoir sur table. J’étais très bon en maths, mais très brouillon dans mes calculs. Et là, en l’occurrence, j’avais fait un brouillon — donc j’étais doublement brouillon ! Je m’étais embrouillé dans mes calculs et j’étais arrivé à la conclusion, assez tôt dans le devoir, que 27 égale 32.
Je ne sais pas ce que j’avais fait, mais j’avais probablement fait une erreur. Et quand j’ai vu « 27 = 32 » sur mon brouillon, j’étais super content. Je me suis dit : « Je m’arrête là, ce n’est pas la peine de continuer. J’ai trouvé une contradiction dans les maths ! » Je me souviens avoir encadré ça sur mon brouillon, avoir regardé ma prof avec un grand sourire et m’être croisé les bras pendant presque tout le devoir. Dix minutes avant la fin, je me suis dit : « Quand même, il y a peut-être un truc… » Et là, je me suis rendu compte que je m’étais planté. J’ai eu la plus mauvaise note de ma scolarité ce jour-là.
Étienne Ghys : Tu avais donc l’idée que, peut-être, l’ensemble des mathématiques pouvait être contradictoire.
David Bessis : Effectivement. J’avais entendu parler de ça et j’étais très fier d’être celui qui avait découvert la fameuse contradiction cachée des mathématiques que tout le monde cherchait depuis des millénaires.
Étienne Ghys : Il faut dire à nos auditeurs que c’est concevable. À ce jour, personne n’a encore démontré que l’arithmétique n’est pas contradictoire. Il n’est pas impossible que quelqu’un, un jour, démontre que 27 égale 32 et que son raisonnement soit correct. Comment ton prof a-t-elle réagi ?
David Bessis : Je ne lui ai pas dit.
Je me suis rendu compte avant la fin que, quand même, c’était un peu suspect et que ça valait le coup de regarder. Je me suis aperçu que j’avais fait une erreur. J’ai essayé, dans les dix minutes qui me restaient, de rédiger le devoir à toute allure, mais j’ai eu une très mauvaise note. J’en étais assez traumatisé.
Le thermostat intérieur
David Bessis : Le deuxième exemple qui me vient à l’esprit, c’est la personnalité d’un mathématicien que j’aime beaucoup, qui est un ami et qui est, en quelque sorte, mon second directeur de thèse. Mon directeur de thèse, c’est Michel Broué, mais son étudiant précédent, Raphaël Rouquier, m’a beaucoup mentoré pendant ma thèse. Je partageais un bureau avec lui.
Il était — il est toujours — extrêmement fort. Et lui avait une capacité à faire des erreurs beaucoup plus élevée que moi. J’avais théorisé ça en me disant que chacun avait une espèce de thermostat interne, réglé différemment, qui détermine à quel moment il accepte quelque chose comme étant potentiellement vrai.
Un jour, Raphaël m’expliquait des trucs sur des bouts de maths assez ésotériques pour moi. Il m’avait dit : « Le groupe fondamental, c’est les automorphismes du foncteur fibre. »
Ça me paraissait un truc absolument lunaire, mais je me disais : « Je ne comprends pas tous les mots, je ne comprends pas bien ce qu’il veut dire, mais ça doit être très profond. » Et pendant des années, j’ai essayé de comprendre ce que ça voulait dire, sans y arriver. Je me souviens, des années plus tard, alors que j’étais au CNRS, de lui avoir dit : « Tu sais, il y a des années, tu m’as dit que le groupe fondamental, c’était les automorphismes du foncteur fibre, et je ne comprends toujours pas ce que tu voulais me dire. »
Il me dit : « Mais non, c’était n’importe quoi, il ne fallait pas prendre ça au sérieux ! »
Étienne Ghys : Eh bien, tu vois, c’était possible.
David Bessis : En fait, ce truc-là est l’une des qualités qui lui ont permis d’être aussi fort. J’ai vu ça le jour où il a déménagé. Il emménageait dans un appartement au quatrième étage sans ascenseur et il était convaincu que son frigo passait. Michel Broué et moi l’avons aidé. Moi, j’avais l’impression que le frigo ne passait pas. Et en fait, il est passé — à un millimètre près, en ayant démonté le condensateur à l’arrière. Et quand on a fait ça, Michel Broué, notre directeur de thèse commun, m’a dit : « Tu vois, c’est pour ça qu’il est si fort. »
Enseigner l’erreur
Étienne Ghys : Tout cela fait réfléchir à l’enseignement des sciences. Dans notre système, il n’y a aucune place à l’erreur : l’élève qui se trompe est en général puni, comme tu l’as subi en quatrième. Comment le verrais-tu, un enseignement de l’erreur ?
David Bessis : Ce qui est intéressant, c’est que là, il y a une erreur non pas dans les maths, mais dans la définition qu’on donne des maths. On confond deux choses différentes.
On confond un appareil technique — le formalisme logique, qui permet de décrire des choses abstraites en des termes formels, avec des règles de déduction mécanique où il n’y a pas de place à l’erreur — avec l’expérience humaine des mathématiques. Le malentendu, c’est de croire que l’enjeu des mathématiques est de faire des déductions formelles, alors qu’en réalité celles-ci sont un outil pour le développement de notre intuition.
Quand on confronte notre intuition, qui est quelque chose de vivant, à ce dispositif formel, on comprend régulièrement qu’elle s’est trompée. C’est d’ailleurs la valeur de ce dispositif : il permet, par la déduction mécanique, de nous rendre compte que nous nous trompons. Et c’est ça qu’on cherche. Parce que c’est quand on se rend compte qu’on se trompe qu’on enclenche le mécanisme de correction de nos représentations mentales.
Donc, il y a quelque chose à expliquer. Il ne faut pas faire tout le cours dessus, mais probablement une séance d’ouverture, en début d’année, pour expliquer que l’enjeu des mathématiques est de faire progresser nos représentations internes. Et que ça se fait précisément quand on ose les verbaliser sans tabou et qu’on prend le risque de faire des erreurs.
Étienne Ghys : Comment vois-tu le professeur s’y prendre pour féliciter un élève qui a fait une erreur et qui l’a comprise ?
David Bessis : Si l’élève comprend son erreur, il est en réalité déjà en train de la réparer. L’une des clés de la conversation mathématique réussie, c’est que, généralement, on est face à quelqu’un qui dit : « Je ne comprends pas, je ne vois rien, ça n’a pas de sens pour moi. » En réalité, la personne comprend quelque chose, mais soupçonne que ce truc est faux. Il faut donc arriver à lui faire dire comment elle comprend les choses, et à lui faire admettre qu’il y a des contradictions dans ses représentations. Une fois que cette chose-là se fait, il y a graduellement une transformation.
Et je crois que ce que l’enseignant doit faire, à ce moment-là, c’est trouver un moyen de faire prendre conscience à l’élève que ses représentations ont évolué. Peut-être lui rappeler comment il comprenait les choses quelques mois plus tôt. J’ai un fils qui a aujourd’hui quatre ans et demi et qui se souvient — parce que je le lui ai dit, évidemment, parce que je savais que ces choses-là étaient importantes — du moment où il ne savait pas compter au-delà de deux ou trois. Et il voit ça avec le sourire, avec la fierté d’avoir dépassé ça.
Cette expérience-là, se rendre compte qu’on est capable de faire progresser ses représentations, son langage, son imaginaire, c’est ce dont on doit arriver à faire prendre conscience à chacun. Ce n’est pas facile, c’est très dur d’enseigner les maths. Mais ce n’est pas plus facile de les enseigner comme un outil sadomaso de déduction formelle. On a plus de chances d’y arriver en les présentant comme un outil humain — et c’est plus proche de la réalité de ce qu’elles sont.
Étienne Ghys : Tu as fait une espèce de confession avec ton 27 égale 32. As-tu une confession plus sérieuse à nous faire ?
David Bessis : Je crois que mes articles de maths sont corrects. Je n’ai pas l’impression d’avoir publié des théorèmes faux, ni des énoncés faux. Il y a deux ou trois endroits qui trouent les démonstrations.
Étienne Ghys : C’est-à-dire que l’énoncé est correct, mais tu n’es pas convaincu de la rédaction ?
David Bessis : Oui. En fait, le problème, ce n’est pas la rédaction, ce sont les trous dans la rédaction. Normalement, il y a toujours des trous dans une rédaction, mais on doit être capable d’expliquer en quelques mots ce qu’il y a dedans. Et je sais qu’il y a des endroits où, si je devais l’expliquer, je serais un tout petit peu embarrassé.
Étienne Ghys : On peut peut-être appeler ça une erreur, quand même.
David Bessis : Non, parce que je sais que le résultat est vrai et que le cheminement est correct. Je pense juste que ça ferait exploser la taille de l’article de réellement détailler tout ce qui doit être détaillé. C’est un peu de la triche.
Étienne Ghys : Si on porte un regard historique sur les maths, y a-t-il une erreur qui te semble emblématique ?
David Bessis : Pour moi, l’erreur la plus fascinante, c’est un grand classique : celle de Hilbert qui, probablement sans l’avoir dit comme ça — mais c’est transparent à plusieurs endroits — était profondément convaincu de la décidabilité des systèmes formels.
Étienne Ghys : Peut-être faut-il l’expliquer. Hilbert est un très, très grand monsieur, la question n’est pas là : il a fait beaucoup de choses fantastiques. On est peut-être en 1930 ?
David Bessis : 1930, c’est la fameuse conférence à Königsberg.
Étienne Ghys : Il pensait donc qu’on pouvait décider de la vérité ou de la fausseté d’un énoncé mathématique de manière machinale, en quelque sorte.
David Bessis : Oui. C’est apparu avant, puisque là, c’était la conférence à l’occasion de son départ en retraite. Mais des années plus tôt, il avait présenté ses fameux vingt-trois problèmes et, dans le dixième, il demande la construction d’une méthode pour résoudre les équations diophantiennes.
Étienne Ghys : Dans un podcast sur l’erreur, il lui fallait bien une erreur ! David parle évidemment de solutions diophantiennes. Il est pardonné.
David Bessis : Or, c’est indécidable. Donc, s’il pose le problème du point de vue de la recherche d’une méthode, c’est qu’il suppose qu’il y a une méthode. Et l’indécidabilité, le fameux théorème de Matiyasevitch, dit que justement, il n’y en a pas. C’est assez naturel, quand on est imprégné de mathématiques, de déductions formelles, de raisonnements logiques, de croire que cet outillage mécanique permet de décider positivement ou négativement de n’importe quel énoncé rédigé dans cette langue-là. Et ce n’est pas vrai.
L’ironie, c’est qu’à cette fameuse conférence de 1930, dans la pièce, il y avait Gödel, qui avait démontré ses théorèmes d’incomplétude et les avait mentionnés de manière allusive dans une conversation, la veille du jour où Hilbert a fait son allocution à la radio.
Étienne Ghys : Wir müssen wissen. Wir werden wissen. C’est ça ?
David Bessis : Voilà. Et maintenant, c’est gravé sur sa tombe.
