L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à l’erreur dans les sciences. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces émissions, à lire ci-dessous.
En mathématiques, un théorème publié n’est pas toujours la fin de l’histoire. La classification des pentagones capables de paver le plan en offre un exemple spectaculaire : pendant près d’un siècle, plusieurs résultats annoncés comme définitifs ont successivement été contredits.
Étienne Ghys raconte cette histoire faite de démonstrations incomplètes, d’erreurs, de découvertes d’amateurs et de calculs informatiques, jusqu’à la classification proposée par Michaël Rao en 2017.
On pense souvent qu’en mathématiques c’est vrai ou c’est faux, et que le travail d’un mathématicien consiste à séparer le vrai du faux en proposant des preuves indiscutables de ce qu’il affirme. C’est plus compliqué dans la pratique.
Je voudrais vous parler d’un théorème dont on pense aujourd’hui qu’il est vrai — mais vous verrez qu’il demande confirmation. Il est le résultat d’une longue série d’idées très originales, parsemées d’autant d’erreurs partiellement corrigées, puis finalement corrigées. Enfin, on l’espère. Le processus a duré plus d’un siècle.
Carrelages
Il s’agit de pavages, ou de carrelages si vous préférez. La plupart des carrelages sont constitués de carrés qu’on ajuste bord à bord. On utilise aussi des tomettes — pas assez souvent, selon moi : les pièces sont alors des hexagones réguliers, dont l’agencement est bien plus joli à mon avis. On pourrait aussi employer des triangles équilatéraux, mais c’est plus rare, et ce n’est pas très différent des tomettes : avec six triangles équilatéraux, on fabrique un hexagone régulier.
On sait depuis l’Antiquité que ce sont les seuls polygones réguliers qu’on puisse utiliser. Un polygone est régulier si tous ses côtés ont la même longueur et si tous ses angles sont égaux. Essayez avec un polygone régulier à sept côtés : ça ne marche pas. Les angles sont plus grands que 120 degrés, et l’on n’a pas assez de place pour en disposer trois autour d’un point. Le puzzle ne marche pas.
Pourquoi s’y intéresser
Peut-on carreler avec des polygones irréguliers ? Et si oui, lesquels ? Pourquoi s’intéresser à cette question ? Il y a au moins trois réponses.
D’abord, parce que les carrelages sont souvent très beaux. L’un des plus beaux palais espagnols est l’Alhambra, à Grenade : on y rencontre une multitude de pavages aux symétries insoupçonnées. Le savant n’étudie pas la nature parce que cela est utile ; il l’étudie parce qu’il y prend plaisir, et il y prend plaisir parce qu’elle est belle.
Une autre réponse, plus concrète, passe par la cristallographie. Dans un cristal, les atomes sont répartis de façon géométrique précise, et les propriétés physiques des cristaux sont reflétées par cette géométrie.
Plus surprenant peut-être : la compréhension des carrelages est importante en logique comme en informatique.
Ce qu’on savait déjà
On se donne un polygone, découpé dans du carton par exemple, et l’on cherche à recouvrir le plan tout entier avec des copies de ce polygone, comme un puzzle.
Pour un triangle, c’est facile. En le faisant tourner de 180 degrés autour du milieu d’un de ses côtés, on obtient un nouveau triangle qui, ajouté au premier, forme un parallélogramme. Faites un dessin. Avec ce parallélogramme, il est facile d’ajouter des copies successives pour former un réseau infini. Pour les triangles, le problème est donc résolu.
Pour les quadrilatères, c’est un tout petit peu plus difficile, mais c’est la même chose : on peut carreler avec n’importe quel quadrilatère convexe, c’est-à-dire sans angle rentrant.
Pour les polygones à sept côtés ou plus, la réponse est connue depuis longtemps : aucun polygone convexe de plus de six côtés ne fait l’affaire.
Restent donc deux questions : les hexagones et les pentagones.
La fanfaronnade de Reinhardt
Les hexagones ont été traités dans une très longue thèse écrite en allemand, datant de 1918. Reinhardt y démontre rigoureusement qu’il existe exactement trois sortes d’hexagones qui pavent le plan. J’ai eu personnellement l’occasion de lire ce texte, un peu touffu il faut bien le dire, mais correct, et qu’on peut d’ailleurs simplifier considérablement. Pour les hexagones, fin de l’histoire.
Le même Reinhardt, dans le même article, donne cinq exemples de pentagones qui pavent le plan. Et la confusion commence.
Il affirme que ce sont les seuls exemples possibles. Il sait comment le démontrer, dit-il, mais la démonstration serait beaucoup trop longue pour qu’il la rédige. Parmi ces cinq exemples, certains sont très beaux, comme celui qu’on appelle le pavage du Caire — parce qu’on dit qu’une avenue du Caire est pavée de cette façon.
Personne, en 1918, n’a osé ou pensé remettre en question la fanfaronnade de Reinhardt. Puisqu’il disait savoir le démontrer, pourquoi ne pas le croire ? Pendant près de cinquante ans, l’affaire était close.
L’arrogance de Kershner
En 1968, Richard Kershner, de Baltimore, reprend l’étude plus soigneusement. Il découvre trois nouvelles classes de pentagones convexes qui pavent le plan. Reinhardt s’était trompé.
Mais Kershner pèche à son tour par arrogance. Il écrit que c’est le manque de place qui l’empêche de détailler la preuve que les cinq classes précédentes et les trois qu’il vient de découvrir constituent la liste complète.
En 1975, Martin Gardner, le célèbre vulgarisateur des mathématiques, a l’excellente idée de présenter le théorème de Kershner dans sa rubrique « Jeux mathématiques » du Scientific American. Malheureusement pour Kershner, et heureusement pour les mathématiques, cet article entraîne la chute de son théorème.
Deux amateurs
D’abord, lorsque Richard James, un informaticien californien, voit le résumé de l’article de Gardner, il décide de ne pas le lire et d’essayer de retrouver seul tous les pavages de Kershner. Lorsqu’il compare ensuite sa liste avec les dessins du Scientific American, il comprend qu’il a découvert un pavage absent de la liste de Kershner, pourtant supposée complète. Le théorème était faux.
Lorsque le numéro du Scientific American arrive dans la maison californienne de la famille Rice, la mère de famille, Marjorie Rice, ouvre le journal un peu par hasard — il était destiné à son fils. Marjorie avait une éducation secondaire, mais aucune formation mathématique solide. Elle est attirée par les jolies figures de l’article. Elle commence à contempler ces pavages par pentagones, prend son crayon, fait des essais, et finit par découvrir un nouveau pavage qui n’était pas dans la liste.
Ces exemples me font un peu penser à la découverte des petites planètes, dont beaucoup ont été faites par des amateurs. Le théorème de Kershner était donc faux, et doublement faux.
Annoncer sans démontrer
Comment un journal mathématique peut-il publier un théorème faux ? Ce sont bien sûr des choses qui arrivent, et on ne peut pas empêcher les erreurs, même en mathématiques. L’article n’a-t-il pas été vérifié avant d’être publié ?
Si l’on y regarde de plus près, on voit que Kershner n’a pas vraiment publié une démonstration. Il s’est contenté d’annoncer son théorème, en écrivant que la preuve de la complétude des listes était extrêmement laborieuse et serait publiée ultérieurement.
Il arrive que des mathématiciens annoncent leurs résultats en promettant une preuve pour plus tard. C’est quelquefois utile si l’on craint une concurrence, mais c’est aussi très dangereux si l’on n’est pas vraiment sûr de sa preuve. Pour la communauté scientifique, il est utile d’être rapidement au courant des résultats obtenus — mais cela peut bloquer les recherches d’autres chercheurs sur la même piste, qui auront tendance à abandonner.
Marjorie Rice, elle, n’avait pas été impressionnée par le fait que le théorème de Kershner était publié dans une revue mathématique. Par la suite, elle a découvert d’autres pavages pentagonaux. Un bel exemple de l’implication d’amateurs dans la recherche mathématique.
Ni Rice ni James n’ont osé affirmer que les exemples connus étaient les seuls possibles, ni prétendre connaître une démonstration trop longue pour être présentée. Chat échaudé craint l’eau froide.
Quinze, et puis ?
Ils ont eu raison : en 1985, Rolf Stein découvre un quatorzième exemple. Et Casey Mann, Jennifer McLoud-Mann et David Von Derau en découvrent un quinzième en 2015, cette fois à l’aide d’un ordinateur.
Enfin, en 2017, Michaël Rao, chercheur en informatique, reprend la question par une recherche systématique de toutes les possibilités. À l’aide d’un programme, il commence par montrer que seules 371 familles de pentagones peuvent potentiellement carreler le plan. Il teste ensuite chacune de ces familles avec un autre programme, et démontre que seuls les quinze types déjà connus y parviennent effectivement.
Il faut dire que la plupart des mathématiciens ressentent comme une frustration le fait qu’une démonstration dépende de longs calculs par ordinateur — tellement longs qu’aucun humain ne peut les refaire lui-même. Faire des mathématiques, c’est comprendre pourquoi quelque chose est vrai. Ce n’est pas la même chose que faire confiance à un ordinateur qui n’explique rien du tout.
La fin de l’histoire est donc la preuve de Rao. Peut-être — je l’espère sincèrement. Mais à ce jour, la prépublication, bien que disponible sur Internet en libre accès, n’a pas encore été publiée dans une revue à comité de lecture, et ne peut donc pas être considérée comme validée. Sept ans ont passé.
La malédiction des erreurs en cascade continue-t-elle ?
