L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à la vérité. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Épisode d’ouverture de la série : Étienne Ghys, mathématicien et secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences, commence par son propre domaine. A priori, s’il existe un endroit où tout est vrai ou faux sans discussion possible, c’est bien celui des mathématiques.
De la quadrature du cercle au théorème d’incomplétude de Gödel, en passant par les démonstrations trop longues pour être menées à bien et par le calcul des probabilités, il montre comment un siècle de logique a fait apparaître toutes les nuances entre le vrai et le faux.
Étienne Ghys : Pravda : la vérité, en russe. C’est le nom du célèbre quotidien soviétique, puis russe. Truth : la vérité, en anglais. C’est le nom du réseau social lancé par Donald Trump. Dans un cas comme dans l’autre : fake news, propagande, désinformation, « faits alternatifs ».
Dans cette nouvelle série de podcasts, j’ai voulu interroger quelques collègues sur leur rapport à la vérité. En science, bien sûr, mais aussi en histoire, en journalisme, en religion. Je commence par mon propre domaine, les mathématiques. A priori, s’il y a un endroit où tout est vrai ou faux, sans discussion possible, c’est bien là. Mais qu’est-ce que le vrai en mathématiques ? Ce n’est pas si évident.
Vrai, démontrable, probable, presque sûr, calculable, cohérent, effectif, décidable. Depuis un siècle, les mathématiciens ont appris à naviguer entre ces notions, à explorer les zones grises entre le vrai et le faux, entre le possible et l’impossible. Le dix-neuvième siècle, avec son optimisme triomphant et ses certitudes, a cédé la place à un vingtième siècle traversé par le doute, l’incertitude et la complexité.
La quadrature du cercle est un vieux problème de géométrie qui remonte à l’Antiquité. On se donne un cercle, une règle non graduée, un compas, et le but est de construire un carré qui aurait exactement la même aire que ce cercle. Aujourd’hui, ce n’est plus vraiment un défi passionnant, mais on peut imaginer qu’il y a quelques siècles, un arpenteur curieux avait envie de connaître la superficie d’un bassin circulaire. Cette aire, on la connaît : c’est π R², avec R le rayon du cercle et π, cette fameuse constante qu’on apprend au collège, qui vaut environ 3,14. Finalement, faire la quadrature du cercle revient à vouloir construire le nombre π à la règle et au compas. Mais à quoi bon ? Ma calculette me dit que π égale 3,1415926535, et cela suffit largement pour n’importe quel arpenteur sur Terre, même très méticuleux. Et pourtant, ce problème a obsédé les géomètres pendant des siècles, jusqu’à ce qu’en 1882, un certain Ferdinand von Lindemann démontre que c’est tout simplement impossible.
Pourquoi ? Parce que π est ce qu’on appelle un nombre transcendant, et un tel nombre ne peut pas être obtenu par une construction géométrique à la règle et au compas. C’est un peu comme si, pour ces outils-là, ce nombre n’existait pas. Mais évidemment, tout dépend des outils qu’on utilise. Donnez-moi un ordinateur et je vous écris un petit programme qui affiche les décimales de π une par une. Il faudra peut-être un peu de temps pour atteindre la millième décimale, mais il finira par y arriver. Non, π n’est pas constructible à la règle et au compas, mais il est calculable avec autant de précision qu’on veut dès qu’on change d’outil.
Au début du vingtième siècle, un événement majeur est venu bouleverser la manière dont les mathématiciens pensaient leur discipline. Un rappel à l’ordre, en quelque sorte, une leçon de modestie. Cette leçon, on la doit à un jeune logicien, Kurt Gödel. En 1931, Gödel publie un résultat aujourd’hui célèbre sous le nom de théorème d’incomplétude. Ce qu’il montre, c’est tout simplement que même les mathématiques, ce domaine que l’on croyait fondé sur la rigueur absolue, ont leurs limites. L’idée peut se résumer ainsi : dans tout système logique suffisamment puissant, par exemple l’arithmétique, il existe des énoncés que l’on ne pourra ni démontrer ni réfuter avec les règles et les axiomes de ce système. Ces énoncés sont appelés indécidables. C’est incroyable.
Pour comprendre cela, on peut faire une analogie avec le fonctionnement de la justice. Imaginons un procès. La cour dispose d’un certain nombre de règles, les lois, et d’un dossier contenant des éléments concrets : des témoignages, des preuves, des expertises. Dans certains cas, ces éléments permettent de conclure : coupable. Dans d’autres cas : non coupable. Mais il arrive que la justice ne puisse pas trancher, non par incompétence, mais parce que les faits sont insuffisants ou ambigus. Et dans ce cas, c’est l’acquittement. La vérité reste incertaine, faute de moyens pour l’atteindre.
C’est exactement ce que Gödel démontre, mais dans le domaine des mathématiques. Lorsqu’un mathématicien raisonne, il s’appuie sur des axiomes, des énoncés de base considérés comme vrais, et sur des règles logiques. Avec cela, il tente de démontrer que certains énoncés sont vrais ou faux. Mais Gödel montre que, quel que soit le système choisi, il y aura toujours des énoncés dont la vérité ou la fausseté ne pourra pas être décidée. Leur indécidabilité n’est pas une simple hypothèse ni une limite technique : c’est un fait mathématique. Cela peut paraître étrange, mais c’est un fait.
Face à cela, on pourrait vouloir enrichir le système, ajouter de nouveaux axiomes, de nouvelles règles, dans l’espoir de gagner en puissance. Mais là encore, Gödel nous met en garde. Il nous dit que si l’on ajoute trop d’axiomes, on prend le risque de perdre la cohérence du système. Et dans un système incohérent, on peut démontrer tout et son contraire, ce qui fait disparaître toute notion de vérité. Si au contraire on tient à préserver cette cohérence, alors il faudra accepter qu’il reste des vérités mathématiques qui nous sont inaccessibles. En d’autres termes, les mathématiques ne peuvent pas tout dire. Elles ne peuvent pas à elles seules épuiser la vérité. C’est un résultat à la fois déstabilisant et profondément fécond. Il rappelle que même dans le domaine le plus abstrait, le plus rigoureux, il reste des zones d’ombre, et que parfois, reconnaître les limites de notre savoir, c’est déjà une forme de sagesse.
On peut alors se demander ce que signifient les mots vrai et faux. Une idée intuitive serait de dire qu’un énoncé est vrai s’il est démontrable, et faux si on peut démontrer sa négation. Mais alors, le théorème de Gödel nous met face à une situation étrange : certains énoncés ne seraient ni vrais ni faux. Et cela, franchement, c’est difficile à accepter. Il faut bien que chaque énoncé soit soit vrai, soit faux, même si on ne peut pas toujours le prouver.
Revenons à notre analogie juridique. Quand un tribunal acquitte un accusé faute de preuves, il ne dit pas que l’accusé est innocent. Il dit juste : « Je ne peux pas conclure. » Et pourtant, en réalité, l’accusé est soit coupable, soit innocent. Ce n’est pas la procédure qui décide de la vérité, c’est la réalité des faits.
En mathématiques, on peut raisonner un peu de la même façon. Souvent, on considère que les mathématiques explorent un monde abstrait, cohérent, dans lequel chaque énoncé est en soi vrai ou faux, même si notre système d’axiomes ne permet pas toujours de le démontrer. Le théorème de Gödel devient alors encore plus impressionnant : certains énoncés sont vrais, mais aucune démonstration ne peut les atteindre à partir des axiomes que nous avons choisis. Autrement dit, la vérité d’un énoncé dépend du modèle mathématique qu’on explore, tandis que sa démontrabilité dépend du système d’axiomes qu’on utilise. À partir de là, la question devient philosophique : est-ce qu’il existe un modèle mathématique réel que tous les mathématiciens partagent, voire que toute intelligence, humaine ou non humaine, découvrirait de la même manière ?
La plupart des mathématiciens travaillent comme s’il existait un tel modèle, une sorte de monde mathématique universel commun que l’on découvre peu à peu, comme un continent inexploré. Mais si vous leur demandez ce qu’ils entendent précisément par vérité, vous obtiendrez des réponses floues, embarrassées, voire contradictoires. Bien peu se sont arrêtés pour réfléchir à cette notion qui, pourtant, est au cœur même de leur métier.
Longtemps, on a cru que l’indécidabilité était un problème lointain, réservé aux logiciens. Les énoncés indécidables, pensait-on, ne concernaient pas les mathématiques du quotidien. Et pourtant, avec le temps, des exemples concrets sont apparus. Hélas, c’est un peu trop technique pour qu’on puisse les évoquer ici. Mais ils existent, et ils montrent que l’indécidable n’est pas un concept abstrait : c’est un obstacle réel.
Ce n’est pas tout. L’arrivée des ordinateurs a fait émerger une autre difficulté, d’une nature différente, mais tout aussi fondamentale. Certaines vérités sont démontrables, mais leur démonstration est d’une longueur telle qu’elle en devient inutilisable. Imaginez que je programme mon ordinateur pour qu’il calcule la milliardième décimale de π. Si je m’y prends mal, mon programme va tourner pendant des millénaires, voire plus longtemps que l’âge de l’univers. À quoi bon dire que ce calcul est faisable ? On pourrait croire qu’il suffirait d’écrire un programme plus astucieux, mais là encore, les logiciens nous rappellent à l’ordre. Il existe des énoncés très simples dont la démonstration existe, mais nécessite un temps de calcul incommensurablement long. On peut les démontrer en théorie, mais en pratique, ils échappent à notre compréhension. Ces vérités sont hors de portée, comme les étoiles trop lointaines pour qu’on puisse jamais les observer.
L’ADN d’un suspect retrouvé sur les lieux du crime est-il une preuve de la culpabilité ? À strictement parler, il n’est pas impossible que deux personnes aient exactement le même ADN, mais c’est très, très, très peu probable. C’est comme si deux personnes lançaient mille fois consécutivement une pièce de monnaie et réalisaient exactement la même suite de piles et de faces. La probabilité de ce phénomène : une chance sur dix puissance trois cent un. Autrement dit, une chance si minuscule qu’on pourrait la considérer comme zéro. Autant dire que c’est impossible.
La théorie des probabilités a pris un essor formidable au vingtième siècle. Il ne s’agit plus simplement de dire vrai ou faux, mais de mesurer une probabilité, de parler de chance et de possibilité. En fait, les mathématiques d’aujourd’hui ne sont plus seulement celles du vrai et du faux. Elles proposent des approches plus subtiles : le vrai, le démontrable, le probable, le calculable, l’effectif, le décidable, comme une palette de couleurs avec lesquelles nous pouvons peindre des vérités qui ne sont ni noires ni blanches, mais pleines de nuances.
Vous avez entendu un tout petit extrait de l’opéra d’Adès intitulé The Tempest et un autre extrait de Spiegel im Spiegel d’Arvo Pärt.
