L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à la géométrie. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Henri Poincaré est souvent présenté comme l’un des derniers savants universels. Mathématiques, physique, philosophie des sciences : son œuvre a profondément influencé notre manière de penser l’espace, le mouvement et la relativité.
Étienne Ghys raconte sa rencontre intellectuelle avec Poincaré, depuis ses premières lectures de jeunesse jusqu’à ses propres recherches, et imagine ce qu’il lui dirait s’il pouvait aujourd’hui partager un déjeuner avec lui.
Une amitié impossible, mais bien réelle
Étienne Ghys : Il y a un peu plus d’un an, quelqu’un m’a demandé de quoi je parlerais avec Henri Poincaré s’il m’invitait à déjeuner. Avoir une conversation en tête-à-tête avec ce vieil ami, né en 1854, exactement un siècle avant moi, voilà qui excitait mon imagination.
Je ne l’ai bien sûr jamais rencontré physiquement et cette amitié a indiscutablement un caractère virtuel. Je dois me contenter de vieilles photos surannées et je crois bien qu’aucun enregistrement de sa voix n’existe. Il est sûr que je serais intimidé face à lui.
Comment ferais-je pour lui expliquer tout ce que ses écrits m’ont apporté et comment ils ont changé ma vision de l’espace et du monde ? Notre première rencontre fut très fugace, dans un livre que j’ai lu lorsque j’étais lycéen, Les grands mathématiciens par E. T. Bell. Tous les historiens des sciences s’accordent à dire que ce livre est mauvais et qu’il présente une vision romantique du développement de la science, peut-être. Mais il a passionné un grand nombre de jeunes et encouragé beaucoup de vocations, dont la mienne. Le chapitre sur Poincaré s’intitule « Le dernier savant universel ». Que pouvais-je comprendre de l’universalité des mathématiques à 17 ans ? Je pense que cette idée me dépassait totalement, mais j’étais grisé par l’idée que les mathématiques pouvaient mener à une certaine forme d’absolu.
La révélation de l’Analysis Situs
Plus tard, j’ai croisé le nom de Poincaré de temps à autre au cours des premières années d’études universitaires, souvent accolé à un théorème. Poincaré, Poincaré-Hopf, Poincaré-Bendixson, etc. Nous sommes habitués depuis le collège à associer des noms à des théorèmes, qu’il s’agisse de Thalès ou de Pythagore. Mais ces noms pourraient tout aussi bien être des numéros. On ne pense pas qu’ils ont été portés par des êtres humains. On se les représente parfois comme des bustes en marbre froid qu’on peut voir dans des musées, et on n’envisage jamais de déjeuner avec eux. Le premier article de recherche que j’ai publié, en 1980, traitait d’une question de topologie. J’utilisais le groupe fondamental de Poincaré, que je ne connaissais qu’à travers la littérature secondaire. Un collègue expérimenté est alors venu me dire gentiment que l’un des théorèmes que j’avais démontré dans mon article était déjà connu et se trouvait explicitement dans le mémoire de Poincaré intitulé Analysis Situs.
Je n’aurais jamais imaginé auparavant aller me plonger dans des articles du XIXe siècle. Ce fut la première fois que j’ouvrais les onze volumes des œuvres de Poincaré. L’universalité saute aux yeux. Ce n’est pas tant la diversité des questions abordées, mais bien le fait que tout est relié à tout dans une unité de pensée poincaréenne lumineuse. Un siècle avant moi, Poincaré avait en effet démontré un théorème que je pensais le mien.
Loin d’en être dépité, je ressentais une espèce de connivence. L’introduction de l’Analysis Situs proposait un point de vue panoramique bien plus vaste que ce qu’on pouvait trouver dans ma propre introduction. Une véritable montée vers l’absolu, comme le dira plus tard Albert Lautman. C’est alors que j’ai décidé de prendre le temps nécessaire pour entrer dans cet univers mathématique qui m’était inconnu.
Des mathématiques tropicales à Rio de Janeiro
Quarante ans plus tard, je me perds encore dans les arcanes de ce monde vertigineux qui me fascine toujours plus. C’est grâce au Brésil que j’ai mieux compris la démarche de Poincaré : j’ai fait un long stage postdoctoral à Rio de Janeiro, dans un institut mathématique tout à fait exceptionnel où le fantôme de Poincaré est omniprésent. Le thème de recherche principal y est celui des systèmes dynamiques, créés par Henri Poincaré en 1881 à partir du néant. On évoque ces résultats à tout moment.
Tout le monde le connaît, on parle de lui en buvant un cafezinho ou en discutant du dernier jogo de futebol au stade de Maracanã. Il y a bien sûr un institut Henri-Poincaré à Paris, mais on n’y ressent pas la présence de Poincaré. Il ne semble y apparaître que sous la forme d’un portrait sur un mur, et on n’y évoque que rarement son œuvre. Pourquoi cette influence si forte à Rio de Janeiro et si faible à Paris ? Il faut dire que l’héritage de Poincaré n’a pas été transmis par la France. Les mathématiciens français lui ont fait des tas de reproches : son manque de rigueur, son utilisation systématique de l’intuition, ses erreurs, autant de péchés mortels dans le pays des mathématiques de Descartes. L’intuition et le qualitatif sont loin d’être des défauts au Brésil.
Au contraire, j’aime bien dire qu’on y pratique des mathématiques tropicales. Des mathématiques un peu floues et chaleureuses, mais solides quand même. L’écriture mathématique chez Poincaré est très proche de la démarche de la découverte progressive, et il ne dissimule ni ses erreurs ni ses échecs. À l’opposé de Gauss, qui affirmait que lorsqu’on écrit des mathématiques, il faut cacher le chemin qu’on a suivi, de même qu’un maçon retire les échafaudages lorsque la maison est construite. C’est donc au milieu de la chaleur tropicale, entouré de collègues très décontractés, que j’ai véritablement fait la connaissance de Poincaré. Et puis, ce fut la découverte de ses écrits philosophiques, qui ont transformé ma vision de la géométrie pour lui donner une ampleur insoupçonnée.
Le conventionnalisme et la relativité de l’espace
J’étais habitué, comme beaucoup, à penser naïvement l’espace avec ses trois dimensions — longueur, largeur, profondeur —, comme une espèce de réceptacle dans lequel se trouve tout ce qui nous entoure. Quelle est donc la nature de cette chose qu’est l’espace ? Pour paraphraser saint Augustin, qui parlait plutôt du temps : quand on ne me le demande pas, je le sais, mais dès qu’on me le demande et que je tente de l’expliquer, je ne le sais plus. Poincaré donne un exemple pour illustrer sa théorie du conventionnalisme, que personne n’a comprise à l’époque et qui lui a valu les pires railleries. Il imagine que la Terre est couverte en permanence de nuages qui empêchent de voir le Soleil, la Lune et les étoiles. C’est tout à fait raisonnable, et d’ailleurs, c’est ce qui se passe sur certaines planètes. Si on ne pouvait pas voir les étoiles, on n’aurait jamais vu la voûte céleste tourner, et la profession d’astronome n’existerait pas.
Comment aurait-on pu découvrir que la Terre tourne sur elle-même ? Après tout, nous ne ressentons pas cette rotation.
En général, un physicien auquel on pose la question répond en parlant du pendule de Foucault, suspendu sous le dôme du Panthéon et dont le plan d’oscillation tourne lentement, en faisant un tour en une trentaine d’heures. Tout ce qui est en mouvement subit une force, dite de Coriolis, dont on apprend aux étudiants qu’elle n’existe pas vraiment et qu’elle n’est que l’incarnation de la rotation de la Terre, un peu comme lorsqu’on est sur un manège qui tourne. Et pourtant, les physiciens de ce monde nuageux auraient probablement décrété que la Terre est fixe et que cette force de Coriolis est réelle, tout comme la gravitation ou le magnétisme. La physique de ce monde serait un peu plus compliquée que la nôtre, mais tout aussi cohérente. Poincaré écrit, dès lors, cette affirmation : « la Terre tourne » n’a aucun sens, puisqu’aucune expérience ne permettra de la vérifier, puisqu’une telle expérience non seulement ne pourrait être réalisée ni rêvée par le Jules Verne le plus hardi, mais ne peut être conçue sans contradiction. Pauvre Poincaré : personne ne le comprit, on l’accusa de défendre l’Église contre Galilée. Il dut s’expliquer à de nombreuses reprises. Le public ne saisit pas que Poincaré énonçait l’une des grandes idées de la physique, le principe de relativité.
Vingt ans à la rencontre des textes de Poincaré
Au fil des années, des événements variés m’ont permis de mieux m’approcher de l’œuvre de Poincaré, comme par approximations successives. En 2007, année du centenaire du théorème d’uniformisation, j’ai réuni un groupe d’une quinzaine de mathématiciens, jeunes et moins jeunes, et nous nous sommes immergés dans les textes historiques pour les comprendre, les commenter et les corriger.
Après trois ans de travail, nous avons publié sous un pseudonyme un joli livre historico-mathématique collectif, Uniformisation des surfaces de Riemann, retour sur un théorème centenaire. Quelques années plus tard, un autre travail collectif a abouti à un site internet sur l’Analysis Situs. J’ai même eu l’occasion de tourner un film, Henri Poincaré, l’Harmonie et le Chaos, dans lequel je discute avec quelques collègues de l’influence de Poincaré sur notre vision de la science.
En 2012, à l’occasion du centenaire de sa mort, il me prend l’idée d’enregistrer en podcast ses livres philosophiques, une cinquantaine d’enregistrements dont je me demande bien s’ils ont intéressé quelqu’un d’autre que moi. Lire un texte à voix haute rapproche de son auteur. Depuis plusieurs siècles, l’Académie des sciences reçoit des plis cachetés, dans lesquels chacun peut écrire ce qu’il souhaite — par exemple une découverte scientifique —, dans une lettre qu’il dépose après l’avoir fermée. L’Académie y appose un cachet et s’engage à n’ouvrir l’enveloppe que cent ans plus tard, sauf si l’auteur le demande. Poincaré déposa l’un de ses plis le 8 octobre 1883 ; il fut ouvert en 1994 et transmis à un éminent collègue qui n’en a semble-t-il pas pris connaissance.
Ce n’est qu’en 2020 que j’ai eu le privilège de lire ce manuscrit que personne n’avait lu auparavant.
L’homme derrière le savant
S’approcher de l’homme Poincaré est plus difficile. Vers 1890, il a accepté de se livrer à une enquête, une enquête détaillée par le psychologue Toulouse. Un livre étonnant en a résulté, intitulé Henri Poincaré, enquête médico-psychologique sur la supériorité intellectuelle.
En deux cents pages, le personnage est décortiqué. On connaît sa taille, la largeur de ses oreilles, ses habitudes alimentaires, la qualité de son sommeil, ses habitudes de travail — et cela, alors même que la psychanalyse n’existait pas encore. Voici quelques conclusions du livre : « Monsieur Henri Poincaré est un type spéculatif qui s’intéresse médiocrement aux choses extérieures au travail de la pensée. Cette qualité dominante explique ses goûts et ses antipathies. Il n’a jamais aimé les exercices musculaires, sauf la marche, qui est automatique, ni les jeux, même dans son enfance, et généralement toutes les choses de la vie pratique ; il n’est pas liant ni confidentiel. Pour le mécanisme essentiel, monsieur Poincaré se comporte à l’égard de sa tendance spéculative comme un enfant instable, dont l’attention ne suit pas docilement la direction imposée et qui éprouve des sautes perpétuelles sous les tendances du jeu. »
Il y a une vingtaine d’années, lors d’un colloque prestigieux de mathématiques à New York, devant un public réunissant les meilleurs spécialistes du monde, un conférencier s’est écrié : « Poincaré est mort il y a plus d’un siècle. S’il revenait sur Terre et s’il était présent dans cette salle, il lui suffirait de cinq minutes pour comprendre tout ce que vous avez fait en cent ans. » Cinq minutes, c’était une exagération, mais peut-être le temps d’un déjeuner.
Le temps d’un déjeuner
Alors si je déjeunais avec lui, je lui parlerais du théorème de Denjoy, qu’il n’aurait pas cru, du théorème KAM sur la stabilité du système solaire, qu’il ne croirait peut-être pas, de la stabilité structurelle, qui ne le surprendrait pas, des développements de l’Analysis Situs qui lui feraient plaisir, de la conjecture de Poincaré enfin résolue cent ans après sa formulation, par des méthodes dont il n’aurait pas rêvé, mais aussi de ce qu’on appelle le dernier théorème de Poincaré, qu’il a tenté de démontrer toute sa vie sans y parvenir et sur lequel il est revenu quelques jours avant sa mort. À la réflexion, le temps d’un déjeuner ne suffirait pas.
Le livre du docteur Toulouse signale que Poincaré avait des difficultés à se souvenir des airs de musique. Mais il explique qu’il aimait particulièrement la musique de Wagner.
Alors vous avez probablement reconnu Tristan et Isolde de Wagner.
