L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux mathématiciens d'aujourd'hui. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels.Qu’est-ce qui nourrit l’imagination d’un mathématicien ? Francis-André Wollman interroge Étienne Ghys sur son rapport à la nature, à la beauté et à la symétrie.
Des ballons de football aux flocons de neige, de la musique aux groupes de symétrie, Étienne Ghys raconte ce qui attire son regard de géomètre et la manière dont le monde concret peut faire naître des questions mathématiques.
Francis-André Wollman : Je suis Francis-André Wollman, biologiste, membre de l’Académie des sciences, et j’ai le plaisir d’avoir en face de moi mon collègue académicien Étienne Ghys, mathématicien et actuellement secrétaire perpétuel de notre compagnie. Pour cet entretien, je ne souhaite pas te lancer directement sur ton domaine des mathématiques — je serais peut-être bien en peine de te suivre dans le détail si tu te lances dans des descriptions un peu spécialisées. Je vais donc prendre des chemins de traverse, et partir de ce que moi, non-mathématicien, je me suis toujours dit à propos des gens qui font des mathématiques, et qui en font au meilleur niveau, comme toi. Je crois comprendre — à la différence de ceux qui tentent de comprendre un peu de mathématiques pour construire des choses — que les vrais mathématiciens entrent dans un univers où les mathématiques préexistent, et font pour l’essentiel apparaître des structures mathématiques qui existent déjà, ce qui, pour moi, est très mystérieux et magnifique. Mais du coup, je me suis posé la question, et je te la pose : quel est ton rapport à la nature ?
Étienne Ghys : À la vraie nature, en vrai, ou à la nature mathématique ? À la vraie nature, en vrai. Tu as parlé des mathématiciens et de leur perception du monde mathématique, très platonicienne, on peut dire. C’est en effet la situation que je crois majoritaire chez les mathématiciens : ils ont l’intime conviction qu’il existe un monde mathématique dans lequel ils se promènent. J’en fais partie, mais peut-être, contrairement à beaucoup d’autres mathématiciens, je me nourris de la nature. Pas comme les mathématiciens appliqués — je n’essaie pas de résoudre des problèmes concrets —, mais j’ai l’impression que, par rapport à d’autres mathématiciens, je regarde davantage. Peut-être parce que je suis géomètre, donc j’observe les choses. Par exemple, dans les années récentes, j’ai eu l’occasion de m’intéresser à la manière de recouvrir une surface par du tissu sans faire de pli. Et ce n’est pas du tout que j’aie un intérêt pour l’industrie textile ou quoi que ce soit : ça suggère des problèmes qui, moi, me nourrissent mathématiquement. Donc je me sers de la nature. Pour donner le dernier exemple en date — tu vas dire que ce n’est pas sérieux —, à l’occasion d’un petit livre que je suis en train de terminer pour un public très général, j’observe les ballons de football, et j’essaie de voir comment ils sont faits, quelle est leur géométrie, à quoi ça ressemble, comment on peut les construire. Mais il ne faut pas croire que je vais aider Adidas ou Nike à fabriquer des ballons : je me nourris de questions qui viennent du concret. Donc, pour répondre à ta question, je ne suis pas un mathématicien appliqué, je ne suis pas non plus un hurluberlu qui ne vit que dans le monde abstrait, mais je regarde ce qui se passe d’un côté pour me donner à manger de l’autre.
Francis-André Wollman : C’est-à-dire qu’on pose une question encore plus intrigante : si je compare à ce qui arrive à un physicien ou à un biologiste, qui puisent dans notre environnement, dans le monde extérieur, les éléments nécessaires à leur recherche, qu’est-ce qui, dans cette perspective qui est la tienne, te permet d’identifier, de sélectionner les objets de ta recherche dans l’environnement ? Ton plaisir ?
Étienne Ghys : — C’est juste… — C’est-à-dire que tu es joueur de foot ? — Non, c’est la beauté du ballon. — Ah ! — Le ballon de football, quand on le regarde d’un peu près… On parlait de Platon il y a un instant : on voit bien sûr les solides platoniciens. Le ballon de football est formé d’hexagones et de pentagones, réglés comme Platon nous l’a appris il y a 2400 ans. Pour moi, c’est la beauté, c’est la symétrie — c’est surtout la symétrie qui me semble le point crucial. On demande souvent à un mathématicien ce qu’est la beauté, et souvent la réponse est : ce qui est beau, c’est ce qui est symétrique, ce qui a des règles internes. Le ballon de football en est un bon exemple : s’il n’était pas symétrique, il irait dans toutes les directions… Pour répondre à ta question rapidement : la symétrie, c’est le mot-clé pour moi, en mathématiques.
Francis-André Wollman : Alors, ça, peut-être que, du coup, ça répond en partie à la question que je souhaitais aborder avec toi. Quand tu parles de beauté et de plaisir, ça semble assez proche, assez lié à ce que vivent les artistes, qui puisent leur inspiration dans des éléments qui leur paraissent stimuler le beau. Par exemple, les peintres paysagistes — et je reviens à la nature — trouvent dans la nature, dans ce cas-là ordinaire, non pas des objets, mais des paysages au sens large : voilà des éléments de beauté qui les inspirent. Est-ce qu’Étienne Ghys est un homme heureux quand il se trouve à la campagne ? Non, voilà — donc allons à ce paradoxe, puisque même en prenant la symétrie, même si tout ça peut paraître chaotique, il y a des éléments de symétrie, évidemment, ne serait-ce que dans les feuilles. Donc, qu’est-ce qui fait que tu n’es pas, au contraire, submergé de bonheur quand tu es à la campagne ?
Étienne Ghys : Je suis submergé de trop de choses. Je pense que les mathématiques ont un avantage, c’est qu’elles sont beaucoup, beaucoup plus simples que la biologie, par exemple. En biologie, il y a tellement de paramètres qu’on n’y comprend rien. Alors que le mathématicien se régale face à un problème extrêmement bien défini, un tout petit problème avec un tout petit nombre de paramètres. Par exemple, dans tous les articles que j’ai écrits, j’ai rarement travaillé sur des variétés de dimension plus grande que quatre. Le jour où j’ai écrit un texte sur la quatrième dimension, j’ai eu l’impression d’avoir atteint mon maximum. Donc, moi, j’aime bien les choses qui dépendent de peu de paramètres. Oui, je pense que c’est la réponse : si je prends trop de choses autour de moi, je deviens un peu ivre, et j’ai besoin de me concentrer sur une petite chose.
Francis-André Wollman : Alors, il y a quand même beaucoup de mathématiciens qui sont d’excellents musiciens — parlons-en, pour les raisons que tu viens de dire, parce que là on peut réduire le nombre de paramètres et obtenir un dialogue avec la beauté. Est-ce que toi-même, tu as un rapport à la musique qui est particulièrement exigeant ?
Étienne Ghys : Raconter des choses personnelles dans un podcast… mais je vais tenter quand même. Quand j’étais en CM2, j’avais un maître qui, un jour, à la fin de la classe, m’a dit : « Étienne, je vais te ramener à la maison. » C’est tout à fait étonnant que le maître me ramène à la maison dans sa voiture, alors qu’il n’y avait pas de voiture à la maison — de nos jours, on serait très inquiet. Il me ramène à la maison, mes parents sont tout à fait étonnés de voir le maître arriver, et le maître dit à mes parents : « Étienne, il faut qu’il fasse de la musique. » Pour mes parents, c’était absolument incroyable ; mes parents étaient très polis, donc ils ont répondu poliment, et dès que le maître a quitté la maison, ma mère a dit : « Il n’en est pas question. » Et ça a été la fin de ma carrière musicale. Peut-être, pour expliquer un peu le comportement de mes parents, faut-il ajouter que mon père était sourd. Donc, pour répondre à ta question, j’étais peut-être doué — enfin, ce n’est rien —, en tout cas, ma vocation s’est terminée en CM2.
Francis-André Wollman : Oui, mais tu te rappelles sur quelles bases cet instituteur avait pensé que tu devais…
Étienne Ghys : Parce que je chantais dans une chorale, et que mon instituteur avait trouvé — pas forcément que je chantais bien — mais que j’avais une bonne lecture des notes de musique.
Francis-André Wollman : D’accord. Mais si on fait l’hypothèse raisonnable que, comme tout le monde, à l’adolescence, tu t’es progressivement affranchi du poids parental, tu aurais pu rencontrer la musique en chemin. Et est-ce que… Moi, je cherche à creuser ce rapport au beau dont tu parles, ce rapport au beau que tu trouves en mathématiques : est-ce que tu arrives à l’exercer dans d’autres aspects de la vie sociale ?
Étienne Ghys : D’abord, je reviens sur le beau en mathématiques, auquel j’ai, bien sûr, comme tout mathématicien, réfléchi : j’ai une espèce de petite définition de ce qui est beau. La voici, même si ce n’est pas une définition très rigoureuse. Quand tu considères l’immensité des énoncés mathématiques, certains ne servent à rien, et certains ont des liens avec beaucoup d’autres énoncés. C’est un peu comme un réseau : il y a certains points qui sont connectés à beaucoup d’autres, d’où explose une structure arborescente. Je pense que ce qui est beau, c’est ce qui sert à beaucoup d’autres choses.
Francis-André Wollman : Définition très particulière du mot, là.
Étienne Ghys : Pour moi, ce mot « mathématique » désigne un concept qui convient et qui apparaît partout, que ce soit en théorie des nombres, en algèbre, en géométrie. Il y a cette belle phrase de Poincaré que j’aime beaucoup : « Faire des mathématiques, c’est donner le même nom à des choses différentes. » Et je trouve ça extraordinaire — c’est-à-dire vraiment trouver un concept, une idée, qui soit multi-usage. Et plus il a l’air multi-usage, plus je suis émerveillé. C’est une définition, probablement pas très sérieuse, mais en tout cas, c’est ce que j’ai en tête.
Francis-André Wollman : Mais qui ne rejoint pas directement celle du principe de symétrie.
Étienne Ghys : On ne va pas parler de maths aujourd’hui, mais si on résume les maths du XIXe siècle, depuis Galois jusqu’à Poincaré, on peut dire que tout se centrait autour de la symétrie : tous les progrès des mathématiques au XIXe siècle découlent de la découverte des groupes de symétrie — les groupes finis, les groupes de Lie, tous ces groupes. Les groupes sont apparus au cours du XIXe siècle et ont été un élément moteur. Poincaré a dit que les mathématiques ne sont rien d’autre qu’une histoire de groupes. Ça paraît un peu ridicule comme phrase, mais ça veut dire que le concept de groupe et celui de symétrie, c’est pareil, c’est le même mot. Le concept de groupe est vraiment au cœur des maths ; c’est un concept qu’on voit apparaître dans toutes les disciplines des mathématiques, que ce soit l’analyse, la géométrie, les systèmes dynamiques, tout ce que tu veux. On peut peut-être discuter du fait qu’au XXe ou au XXIe siècle, le rôle de la symétrie a changé un peu de forme, mais il reste très présent. Il y a cet exemple que j’aime bien, celui des flocons de neige : quand on voit un flocon de neige qui grandit, on n’y comprend absolument rien, mais il y a une chose qui est sûre, c’est qu’il y a une symétrie d’ordre 6, et on aimerait comprendre pourquoi. Quand Kepler constate ça, il se dit : mais comment est-ce possible ? Les bras du flocon, c’est comme s’ils étaient intelligents, comme s’ils se transmettaient des informations. Et à un certain moment, même le grand Kepler évoque l’idée que les flocons de neige sont peut-être vivants. D’ailleurs, toi, le biologiste, tu seras d’accord avec moi que ce qui, dans le minéral, est le plus proche du vivant, ce sont les cristaux.
Francis-André Wollman : Oui, tout à fait.
Étienne Ghys : Le cristal, c’est la symétrie.
Francis-André Wollman : Je sais que tu as un grand intérêt pour l’enseignement des mathématiques. Ce que tu viens de dire là, tu m’accorderas que les gens qui ne sont pas des élèves poursuivant des études de mathématiques à un niveau très, très élevé, mais qui passent par le tuyau de formation mathématique classique en France, ne sont jamais exposés à ce que tu viens d’évoquer sur les groupes et la symétrie comme centre des mathématiques. Surtout en France.
Étienne Ghys : Notre génération a souffert des mathématiques modernes, et tu as dû l’apprendre comme moi en seconde — mais peut-être l’as-tu oublié : un groupe, c’est un ensemble muni d’une loi de composition vérifiant quatre axiomes, il y a un élément neutre, tout élément a un inverse, il y a l’associativité, etc.
Francis-André Wollman : Ah oui, on le récitait.
Étienne Ghys : Et si je me souviens bien, on le récitait sans vraiment comprendre. Et il y a un grand mathématicien russe qui s’appelait Arnold, qui avait fait une conférence assez énervée contre le système français, incapable de dire qu’un groupe, c’est une symétrie. En quelque sorte, c’est un échec de notre système éducatif : dans notre génération, on apprenait les groupes, mais on ne nous disait pas pourquoi, d’où ça venait, à quoi ça servait. Bonne nouvelle pour les enfants d’aujourd’hui : de toute façon, il n’y en a plus du tout.
Francis-André Wollman : Le rire est la politesse du désespoir, on va terminer sur cette note, cette fois-ci.
