L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à la géométrie. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Pendant des siècles, la géométrie semblait étudier un espace unique : celui dans lequel nous vivons. À la fin du XIXe siècle et au début du XXe, cette évidence éclate avec l’apparition des géométries non euclidiennes et d’espaces de dimensions multiples.
Étienne Ghys revient sur trois textes philosophiques d’Henri Poincaré et sur la manière dont ils ont contribué à transformer notre conception de l’espace, entre mathématiques, physique, philosophie et psychologie.
Comment la géométrie est devenue plurielle
Étienne Ghys : Nous sommes tous habitués à l’espace qui nous entoure. Remarquez l’article défini : l’espace. Pour la plupart d’entre nous, il n’y a qu’un espace, celui dans lequel nous vivons, dans lequel nous sommes immergés, dans lequel nous nous déplaçons. Tout se passe comme si le but de la géométrie était d’étudier un objet physique bien particulier, l’espace, ou tout au moins quelque chose qui contient toutes ces choses.
Je voudrais essayer d’expliquer comment le mot géométrie, qui ne s’employait déjà presque exclusivement qu’au singulier, a été mis au pluriel vers 1900, lorsqu’une multitude de nouveaux espaces sont apparus. Les étudiants en mathématiques du XXIe siècle ne conçoivent même plus que ce mot ait pu un jour être au singulier : ils manipulent en permanence des espaces de toutes les dimensions, des espaces de Hilbert, des espaces de modules, des espaces de phase, des espaces fonctionnels, etc. Connaissez-vous le Ngram Viewer de Google ? Pour chaque mot, il vous trace l’évolution de son usage depuis deux siècles, en pourcentage de son immense corpus Google Books. Regardez « géométrie » au singulier : depuis 1800, son usage est à peu près constant. « Géométrie » au pluriel, quant à lui, semble apparaître vers 1900.
Même s’il serait simpliste de prétendre que cette explosion de l’espace en de multiples espaces n’est due qu’à un seul homme, je voudrais centrer ma présentation sur trois articles philosophiques écrits par Henri Poincaré au tournant du siècle : L’Espace et la géométrie, en 1895, L’Espace et ses trois dimensions, en 1903, et enfin Pourquoi l’espace a trois dimensions, en 1912, l’année de sa mort. Selon moi, ces trois articles fournissent un bon exemple de changement de paradigme en géométrie, une révolution dans la manière de penser la géométrie.
L’espace avant Poincaré : Descartes, Leibniz, Newton
Il me faut auparavant rappeler quelques-unes des théories de l’espace qui ont précédé Poincaré. Tout d’abord, une mise en garde : jusqu’à la fin du XVIIIe siècle, la frontière entre les mathématiques et la physique n’était pas toujours très claire. Il y a ce qu’on appellerait aujourd’hui l’espace physique, celui dans lequel nous vivons et faisons des expériences, et il y a un espace mathématique, qui en est en quelque sorte une version abstraite, celui dans lequel le mathématicien démontre ses théorèmes. Il est important de distinguer aujourd’hui ces deux concepts, mais il serait difficile de trouver un mathématicien, un physicien ou un philosophe qui explicite cette différence avant le XIXe siècle.
Descartes voyait l’espace comme rempli de tourbillons qui entraînaient les planètes dans leur danse. Leibniz ne voulait pas dissocier l’espace de la matière : le vide n’avait pas de sens selon lui. Quant à Newton, il nous a laissé le concept d’espace absolu. Selon lui, l’espace vide n’était pas vraiment vide, mais constitué de quelque chose que nous ne pouvons pas percevoir, et qui est le sensorium Dei, le milieu grâce auquel Dieu perçoit et agit sur les corps, comme les planètes par exemple. Passons.
Aujourd’hui, nous enseignons à nos étudiants qu’un point de l’espace a trois coordonnées x, y, z, qui sont trois nombres qu’on appelle réels. Comment les parties de l’espace qui sont vides peuvent-elles être conçues comme des points ? De quoi sont faits ces points, si l’espace est vide ? Il n’empêche que la vision de l’espace comme constitué de points, chacun avec ses trois coordonnées, a dominé la science pendant longtemps, et le triomphe de la mécanique céleste au XVIIIe siècle est largement fondé sur cette conception newtonienne de l’espace absolu.
La révolution copernicienne de Kant
Le grand changement est, sans conteste, dû à Emmanuel Kant, à la fin du XVIIIe siècle. Il a lui-même qualifié sa nouvelle conception de révolution copernicienne. Avant lui, il y avait un espace dans lequel un certain nombre d’objets de toute nature se déplaçaient, et nous, êtres humains, observions ces objets grâce à nos cinq sens, qui nous permettent de les localiser. Avec Kant, ce n’est plus l’objet qui est au centre du processus, mais l’être humain qui reçoit des informations du monde extérieur. Kant ne se prononce pas sur la nature de ce monde extérieur. Il ne cherche pas à le structurer, à lui attribuer des coordonnées, à en faire un espace absolu de dimension trois, à la Newton. Peu importe ce qu’est ce monde extérieur intrinsèquement, puisque nous ne pouvons l’appréhender qu’à travers nos sens imparfaits.
En revanche, Kant postule l’existence d’une structure propre à l’être humain, une espèce de cadre qui analyse nos sensations, les trie, les ordonne et fabrique notre conception spatiale. Bien entendu, il ne décrit pas la nature de ce cadre, puisque la neurobiologie n’existait pas à l’époque. En employant un mot d’aujourd’hui, tout se passe comme si notre cerveau contenait un logiciel appelé espace. Ce logiciel reçoit une quantité énorme d’informations à travers la vision, bien sûr, mais également à travers les autres sens ; il travaille et fabrique l’espace tel que nous le vivons, avec ses trois dimensions, etc. En résumé, l’espace n’existe pas indépendamment de nous : il existe en chacun de nous, sous la forme d’un logiciel que nous possédons tous à la naissance, comme une caractéristique a priori de l’espèce humaine.
Et toujours selon Kant, notre logiciel espace est euclidien et de dimension trois. Pourquoi la dimension trois ? Parce que nous sommes faits ainsi, parce que c’est comme ça — de la même manière que nous avons deux mains et pas trois. Il faut insister, cependant, sur un point important : l’espace de Kant est unique. Même s’il est en chacun de nous, nous avons tous le même logiciel.
Non-euclidiens, dimensions multiples et spiritisme
C’est alors que quelques révolutionnaires sont venus briser le dogme. D’abord, dans le premier tiers du XIXe siècle, Gauss, Bolyai et Lobatchevski créent chacun de leur côté un monde nouveau, non euclidien, où les théorèmes de géométrie sont différents : par exemple, le théorème de Pythagore n’y est plus valide. C’est à cette époque que la distinction entre espace mathématique et espace physique commence à devenir explicite. Bolyai crée un espace mathématique complètement abstrait, sans chercher de lien avec le monde physique : il s’agit de pures élucubrations de mathématicien qui s’amuse avec des espaces virtuels. Gauss et Lobatchevski, quant à eux, se demandent si la géométrie à grande échelle de l’espace interstellaire est vraiment euclidienne, et cherchent à faire des expériences dans cet espace physique. On raconte que Gauss n’avait pas voulu publier ses découvertes sur ce sujet, car il ne souhaitait pas entrer en conflit avec la philosophie de Kant, au pouvoir quasi exclusif en Allemagne à l’époque.
Puis, avec Riemann et quelques autres, c’est la dimension trois qui a été remise en question, tantôt en pensant à l’espace physique, tantôt aux espaces mathématiques. Il faut également dire que ces nouveaux espaces enflamment les esprits de quelques intellectuels intéressés par le spiritisme. Pendant une bonne partie du XIXe siècle : la quatrième dimension serait-elle une porte vers le monde des esprits ? Même des physiciens extrêmement sérieux se tournent vers le spiritisme. Tait, grand physicien expérimentateur écossais, ami et collaborateur de Kelvin et de Maxwell, écrit par exemple un livre intitulé The Unseen Universe, dans lequel il décrit une suite d’espaces de dimensions croissantes — 3, 4, 5, etc. —, l’ensemble permettant de joindre le monde physique et le monde spirituel, à la manière d’une échelle de Jacob.
Le monde imaginaire de Poincaré et le conventionnalisme
À la fin du XIXe siècle, Poincaré rédige les articles que j’ai mentionnés plus tôt, qui séparent très nettement les aspects mathématiques, physiques, philosophiques et psychologiques. Poincaré expose d’abord sa théorie du conventionnalisme, en présentant la géométrie non euclidienne à travers un monde imaginaire. Les habitants de ce monde habitent dans une boule limitée par une sphère, mais ils ne le savent pas. Dans cette boule, la température n’est pas uniforme : elle est maximale au centre et décroît à mesure qu’on s’approche du bord, où elle atteint le zéro absolu. Mais les habitants ne sont pas sensibles à la température et ne le savent donc pas. Il en résulte que, lorsqu’ils s’approchent du bord de la boule, ils se contractent, ils rétrécissent sans le savoir. S’ils veulent se mesurer avec une toise, cette toise rétrécit également, si bien que personne ne prend conscience de ce phénomène. S’ils veulent marcher vers ce que nous voyons comme le bord, leurs pas deviennent de plus en plus petits, et ils ont beau marcher, ils ne parviennent jamais au bord. Pour eux, l’espace est infini ; pour nous, il est fini.
Shakespeare fait dire à Hamlet : « I could be bounded in a nutshell and count myself a king of infinite space. » Lorsque ces habitants veulent aller d’un point à un autre en prenant le plus court chemin, nous leur conseillerions de se rapprocher du centre, car là, leurs pas sont plus grands. Et leur Euclide leur enseignera qu’il n’y a qu’un plus court chemin, qu’ils appelleront une droite, alors que nous dirions que ce plus court chemin est une courbe, en fait un arc de cercle. Leurs ministres de l’Éducation nationale fixeraient des programmes de géométrie non euclidienne, car ce serait commode pour décrire leur vie de tous les jours. Quant à nous, qui les observons depuis notre monde euclidien, nous décrivons leur géométrie avec nos pauvres mots euclidiens, et c’est assez compliqué d’expliquer que leur plus court chemin est, pour nous, circulaire. Réciproquement, les êtres imaginaires qui nous observeraient utiliseraient leur géométrie non euclidienne pour décrire notre géométrie euclidienne — ils pourraient le faire, mais ça ne serait pas commode pour eux.
Les mêmes énoncés géométriques peuvent donc s’exprimer dans deux langages. Écoutons la conclusion de Poincaré : « Les axiomes géométriques ne sont donc ni des jugements synthétiques a priori ni des faits expérimentaux. Ce sont des conventions ; notre choix, parmi toutes les conventions possibles, est guidé par des faits expérimentaux, mais il reste libre. » Dès lors, que doit-on penser de cette question : la géométrie euclidienne est-elle la vraie ? Cette question n’a aucun sens. Autant demander si le système métrique est vrai et les anciennes mesures fausses. Une géométrie ne peut pas être plus vraie qu’une autre ; elle peut simplement être plus commode.
L’espace physique, le corps et le groupe des déplacements
Dans son analyse de l’espace physique, Poincaré commence d’emblée par le mettre au pluriel. Il y a l’espace visuel, mais aussi l’espace des sensations tactiles, auditives, gustatives, etc. Il explique que chacun de ces espaces est d’une grande complexité et qu’aucun d’entre eux ne ressemble a priori à l’espace euclidien de dimension trois. L’espace visuel, par exemple, rend compte de l’information que nos rétines reçoivent, qui est plutôt une image de dimension deux, à laquelle il faut ajouter une notion de profondeur, associée aussi bien à la capacité d’accommodation de notre cristallin qu’à la vision binoculaire. Cette dimension de profondeur a donc une nature très différente des deux autres. Si bien qu’on est bien loin d’un espace homogène et isotrope, et qu’on peut même mettre en question la dimension trois, puisqu’il serait tout à fait possible, physiquement, que les informations liées à notre cristallin et à nos deux yeux soient différentes. L’espace tactile ressemble encore moins à un espace euclidien.
Alors, comment notre cerveau construit-il cet espace euclidien tridimensionnel ? On pourrait dire, comme Kant, que nous disposons d’un logiciel qui se charge de ce travail, mais on aimerait en savoir un peu plus. La théorie présentée par Poincaré se démarque de Kant, mais pas complètement, comme nous allons le voir. Nous construisons l’espace grâce au corps solide et à la possibilité de nous déplacer. Lorsque j’observe un objet solide qui s’est déplacé, pourquoi dis-je qu’il s’est déplacé ? Parce que je sais, par expérience, que je peux faire subir consciemment à mon corps des modifications de façon à annuler le changement sensoriel. Par exemple, je peux suivre des yeux un objet en mouvement, de façon à ce qu’il me semble immobile. C’est cette possibilité d’annuler des changements sensoriels qui caractérise les solides.
Dans quelques pages brillantes mais difficilement accessibles à un non-mathématicien, Poincaré présente sa théorie de l’espace physique. Selon lui, notre cerveau construit le concept d’espace à travers les mouvements de notre corps, destinés à annuler les modifications sensorielles produites par les solides en mouvement. Bien entendu, pour annuler un changement de sensation, il y a beaucoup de mouvements corporels possibles. Poincaré introduit ce qu’on appelle aujourd’hui une relation d’équivalence, et montre que tout cela définit un objet mathématique que nous appelons un groupe, l’un des concepts mathématiques les plus importants. Ce groupe, nous le baptiserons groupe des déplacements de l’espace. Il y a beaucoup de groupes, une infinité, et il n’y a donc aucune raison a priori pour que ce groupe corresponde à la géométrie euclidienne de dimension trois.
Alors pourquoi ce groupe plutôt qu’un autre ? C’est là un phénomène expérimental, explique Poincaré. Le groupe des déplacements d’un espace euclidien de dimension trois est commode pour décrire le changement sensoriel ressenti par notre corps, mais cela aurait pu être un autre groupe, une autre dimension, ou une autre géométrie non euclidienne.
Le logiciel de Poincaré
Beaucoup de philosophes ont affirmé que la présentation de Poincaré allait à l’encontre de Kant, qui ne voyait aucun côté expérimental dans notre concept spatial. Ce n’est pas tout à fait de cette manière que je vois les choses. D’une certaine manière, Poincaré et Kant affirment tous deux que le cerveau humain contient un programme espace. Poincaré, cependant, avance que ce programme doit être paramétré en choisissant un groupe, et que ce choix est purement expérimental. Il s’agit de choisir le groupe qui est le plus commode pour rendre compte de nos observations. Comme chez Kant, l’espace externe n’existe pas indépendamment de nous, il est en nous ; mais contrairement à Kant, il est paramétré par l’expérience, qui aurait tout aussi bien pu ne pas nous conduire à une géométrie euclidienne de dimension trois.
On pourrait presque dire, en plaisantant, que le logiciel de Poincaré est une machine learning. Voici ce qu’il écrit : « Des êtres dont l’esprit serait fait comme le nôtre et qui auraient les mêmes sens que nous, mais qui n’auraient reçu aucune éducation préalable, pourraient recevoir d’un monde extérieur convenablement choisi des impressions telles qu’ils seraient amenés à localiser les phénomènes dans un monde non euclidien, ou même dans un espace à quatre dimensions. » On raconte que le célèbre mathématicien Conway, alors qu’il était étudiant à Cambridge, s’était construit une espèce de casque muni de deux périscopes pointant dans des directions différentes, de façon à voir deux images différentes : il espérait que son cerveau s’habituerait à cette torture et qu’il vivrait ainsi dans la quatrième dimension. Il semble bien que son cerveau ne s’y soit pas habitué — ce qui ne contredit pas Poincaré : Conway avait bien sûr reçu une éducation préalable, à Cambridge.
Écoutons à nouveau Poincaré : « Ce qui est l’objet de la géométrie, c’est l’étude d’un groupe particulier ; mais le concept général de groupe préexiste dans notre esprit, au moins en puissance. Seulement, parmi tous les groupes possibles, il faut choisir celui qui sera, pour ainsi dire, l’étalon auquel nous rapporterons les phénomènes naturels. L’expérience nous guide dans ce choix, mais elle ne nous l’impose pas. » La contribution fondamentale de Poincaré est donc d’autoriser une liberté totale sur le choix du groupe, aussi bien lorsqu’il s’agit d’espace physique que d’espace mathématique.
Chaque problème, qu’il soit physique ou mathématique, peut être étudié à l’aide d’un groupe ou d’un espace qui lui est propre. Ces espaces peuvent avoir diverses dimensions et diverses géométries. Aujourd’hui, tout cela est devenu inconscient, comme dans tout paradigme dominant. Les étudiants manipulent des espaces et des groupes variés sans se rendre compte qu’ils commettent un crime de lèse-majesté. En mathématiques pures, la multitude des espaces est également impressionnante, qu’il s’agisse d’espaces de modules, d’espaces fonctionnels, d’espaces de champs de vecteurs. À vrai dire, un mathématicien d’aujourd’hui emploie le mot « espace » dans de nombreuses situations, souvent même sans se rendre compte qu’un ensemble est structuré. Vous entendrez par exemple parler de l’espace des droites, ou de l’espace des espaces.
Cette explosion de l’espace en de multiples espaces, au début du XXe siècle, s’est ressentie dans tous les domaines.
Vous avez écouté l’ouverture de Lohengrin de Richard Wagner, qui était le compositeur favori d’Henri Poincaré.
