L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à la géométrie. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
De Newton à Henri Poincaré puis à Stephen Smale, notre manière de penser le mouvement a profondément changé. D’un univers régi par des lois déterministes et apparemment prévisibles, les mathématiques ont progressivement révélé des comportements chaotiques d’une extrême complexité.
Étienne Ghys retrace trois grandes étapes de l’histoire des systèmes dynamiques et montre comment les mathématiciens ont appris à étudier un monde que l’on ne peut pas toujours prévoir dans le détail.
Newton et le rêve de tout prévoir
Étienne Ghys : Il y a 358 ans, l’année de la fondation de l’Académie des sciences, un tout jeune homme allait révolutionner notre point de vue sur le monde. Pour lui, cette année 1666 fut merveilleuse, son annus mirabilis, comme diront les historiens.
Il découvrait que, contrairement à ce que pensaient les anciens, les forces qui animent le monde sont universelles, partout de même nature, que ce soit lors du mouvement de la Lune ou de la chute d’une pomme. Mais aussi, il inventait un outil mathématique merveilleux, le calcul différentiel, qu’il appelait le calcul des fluxions, qui permet de prévoir les mouvements, prévoir l’avenir, le vieux rêve de la science. Isaac Newton mettra vingt ans pour rédiger son chef-d’œuvre, les Principes mathématiques de la philosophie naturelle — les principes mathématiques de la physique, dirait-on aujourd’hui. Il craint que son principal rival, Leibniz, ne revendique également cette découverte du calcul différentiel, ce qui d’ailleurs serait justifié. Il lui écrit une lettre, le 24 octobre 1676, dans laquelle il cache son secret sous une forme codée.
« 6accdae13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12ux ». Leibniz n’a pas décodé ce message, mais les historiens des sciences, probablement aidés par des cruciverbistes latinistes, ont fini par décrypter la phrase latine qui se cachait dans l’anagramme : Data æquatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire ; et vice versa. Je vous fais grâce de la suite. En français, ça veut dire : étant donné une équation mettant en jeu des quantités variables, trouver leurs dérivées, et vice-versa.
Le calcul différentiel et intégral est une boule de cristal incroyablement efficace pour prédire l’avenir. Il permet de calculer le mouvement futur d’un système en connaissant sa situation présente et les forces qui lui sont appliquées. On dit qu’on résout une équation différentielle, ou qu’on en trouve les solutions. La première période de l’histoire de la dynamique, la science du mouvement, venait de commencer.
On vous donne une équation différentielle et votre mission est d’en trouver les solutions : voilà le message codé de Newton. La tâche était immense. Les mathématiciens et les physiciens — la distinction n’avait pas grand sens à l’époque — vont s’y attaquer avec frénésie. On trouverait difficilement un mathématicien, dans les deux siècles qui suivent, qui ne se soit pas occupé d’équations différentielles d’une manière ou d’une autre. Il est vrai que l’Académie des sciences acceptera difficilement qu’un Anglais ose bouleverser la science, et lui préférera pendant un temps une théorie des tourbillons, un peu fumeuse, mais due à notre compatriote Descartes.
L’âge d’or du calcul différentiel
Le monde de Newton est hérité des anciens, l’harmonie des sphères, de Pythagore. Le paradigme est celui du mouvement périodique. Le Soleil se lève tous les matins, mon cœur bat 60 ou 70 fois par minute. La Terre tourne autour du Soleil en 365 jours, 6 heures, 9 minutes et 9 secondes. Un monde harmonieux et prévisible, fait de cycles qui se superposent.
La croyance, le mythe, le dogme, que les mouvements — peut-être après une courte période de transition — finissent par se stabiliser, soit en s’arrêtant, soit en oscillant périodiquement, dominera longtemps la science, qui n’a pas fini d’étudier le mouvement d’oscillation harmonique d’une masse suspendue à un ressort en travaux pratiques de physique, en classe de seconde. Les XVIIIe et XIXe siècles virent le triomphe de l’analyse mathématique. On résolvait des équations différentielles à tour de bras. On inventait de nouvelles fonctions pour les analyser. On calculait l’avenir. Le Verrier découvrait par exemple la planète Neptune par le calcul différentiel, du bout de sa plume, comme dirait Arago. L’optimisme était grand. Voici par exemple une citation célèbre de Laplace, datant de 1814, restée comme l’une des définitions classiques du déterminisme :
« Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son état antérieur et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. »
Laplace avait vu juste. Pour prévoir l’avenir, il faut une intelligence assez vaste.
Vers la fin du XIXe siècle, la machine s’essoufflait et les progrès devenaient rares. On prit conscience que l’immense majorité des équations différentielles était si complexe qu’il était illusoire d’en expliciter les solutions. Notre intelligence n’était pas assez vaste. La boule de cristal du calcul différentiel devenait trouble. Il fallait de nouvelles idées.
Poincaré et la révolution qualitative
Il y a 143 ans, un tout jeune homme, français cette fois, maître de conférences à Caen, eut une idée révolutionnaire. Il proposa d’être modeste. Je dois vous dire que la modestie n’est pas la qualité première des mathématiciens. Henri Poincaré suggère une approche qualitative. Lorsqu’on apprend au lycée à étudier une courbe, on commence par déterminer les éléments remarquables — les maximums, les minimums, les points d’inflexion, les asymptotes, etc. Ensuite, on dispose d’assez d’informations pour se faire une idée de la courbe et on peut la tracer à main levée, ce qui est bien souvent tout aussi utile, sinon plus, que la courbe tracée par une calculette. De la même manière, Poincaré développe une théorie qualitative qui permet de se faire une idée des solutions d’une équation différentielle sans avoir besoin de la résoudre.
Son grand mémoire de 1881, sur les courbes définies par les équations différentielles, marque le début de la deuxième période de la théorie des systèmes dynamiques. On vous donne une équation différentielle et votre mission n’est plus d’en trouver des solutions, mais plus modestement de dire quelque chose sur ces solutions — d’intéressant, si possible. Par exemple, plutôt que d’essayer de déterminer l’équation exacte de l’orbite de la Lune, ce qui serait irréalisable, peut-on au moins s’assurer qu’elle ne va pas s’écraser sur la Terre ? La méthode fonctionna à merveille dans un premier temps, tout au moins pour les petits systèmes à deux degrés de liberté, comme on dit, et semblant confirmer le mythe des mouvements cycliques harmonieux. Poincaré montre en effet que, dans ce cas, les mouvements finissent par se stabiliser sur des cycles. Mais il rencontre également, dans des systèmes plus importants, des phénomènes dynamiques d’une complexité extrême, qu’on appelle aujourd’hui chaotiques, qui ne se stabilisent pas sur des cycles et dont le comportement semble erratique, totalement imprévisible, et sur lequel il ne sait pas trop quoi dire.
Lui, le géomètre par excellence, renonce même à les dessiner. Et voici ce qu’il écrit dans les Méthodes nouvelles de la mécanique céleste : « On sera frappé de la complexité de cette figure, que je ne cherche même pas à tracer. Rien n’est plus propre à nous donner une idée de la complication du problème des trois corps et, en général, de tous les problèmes de la dynamique. » Il rencontre cette complexité en mécanique céleste, mais il en donne également un exemple météorologique, dans Science et méthode, en 1908. Voici ce qu’il écrit : « Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. »
Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part, mais où ? Ils sont hors d’état de le dire. Un dixième de degré en plus ou en moins, en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient pas assez serrées ni assez précises. Et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard.
Ici encore, nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. Comment comprendre ces situations chaotiques dans lesquelles toute prévision semble vouée à l’échec ? Faut-il se résigner à ce constat d’imprévisibilité et parler de l’intervention du hasard, au risque de ne plus rien prévoir ?
Smale et le fer à cheval de Copacabana
Il y a 60 ans, un jeune Américain, Stephen Smale, propose une nouvelle approche. Son article, Differentiable Dynamical Systems, allait modifier le paysage en profondeur. Smale sait bien qu’on ne connaît que rarement la position présente d’un système avec une précision totale, et que ceci entraîne des incertitudes considérables sur le comportement futur. Mais surtout, il observe que, bien souvent, on ne connaît même pas les forces qui agissent avec précision. On se trouve donc dans cette situation apparemment désespérée, dans laquelle on ne connaît même pas l’équation différentielle qu’il s’agit de résoudre. C’est la troisième période de la théorie, la période actuelle. On ne vous donne pas d’équation différentielle et votre mission est de dire quelque chose d’intéressant sur ses solutions.
Dans un premier temps, le jeune Smale fait preuve d’un optimisme étonnant. Il pense que le chaos n’est qu’une exception rarissime. Si cela avait été le cas, les systèmes chaotiques n’auraient pas véritablement mérité qu’on les étudie : le mathématicien doit se concentrer sur les objets génériques et négliger les cas exceptionnels. Mais l’optimisme ne durera pas. Smale ne tarda pas à réaliser que le chaos n’est pas rare et que nous sommes donc dans l’obligation de l’étudier de près.
Il découvre un exemple, dit-on, en réfléchissant sur la plage de Copacabana, à Rio de Janeiro, qu’il baptise « fer à cheval ». Newton n’avait-il pas dit qu’il était comme un petit garçon qui joue sur la plage, prenant plaisir à trouver de-ci de-là un galet un peu plus lisse, ou un coquillage un peu plus beau qu’à l’ordinaire ? Smale, quant à lui, trouve un fer à cheval dans le sable. Il s’agit d’un système dynamique qui allie deux propriétés en apparence contradictoires : chaos et stabilité. D’abord, le fer à cheval est chaotique, son mouvement semble complètement imprévisible ; mais aussi, le fer à cheval est stable, structurellement stable, comme disent les mathématiciens. Cela signifie que, si on modifie légèrement la dynamique, si on considère un fer à cheval un peu déformé, eh bien, la nouvelle dynamique sera essentiellement la même qu’auparavant et présentera en particulier le même chaos.
Le chaos est présent, et bien présent, indestructible, et pourtant la dynamique globale, avec toute sa complexité, est stable, insensible aux perturbations. Même en ignorant les détails d’un fer à cheval, on a une bonne idée de son comportement pourtant chaotique. Poincaré l’avait pressenti, lorsqu’il écrivait, en 1908 : « Vous me demandez de vous prédire les phénomènes qui vont se produire. Si, par malheur, je connaissais les lois de ces phénomènes, je ne pourrais y arriver que par des calculs inextricables et je devrais renoncer à vous répondre. Mais, comme j’ai la chance de les ignorer, je vais vous répondre tout de suite. Et ce qu’il y a de plus extraordinaire, c’est que ma réponse sera juste. »
La coexistence du chaos et de la stabilité structurelle est un fait absolument remarquable.
Lorenz et l’effet papillon
Pour donner une idée du chaos, le mieux est de citer Edward Lorenz. Vers 1960, ce physicien, météorologiste, insiste sur l’importance concrète des systèmes chaotiques dans les phénomènes naturels. Vous savez, le fameux effet papillon, si médiatisé : le battement des ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer un ouragan au Texas ? Ce serait une erreur que de limiter la théorie du chaos à un tel constat. Si un papillon peut engendrer un ouragan, tous les autres papillons ont le même pouvoir et, comme il y a beaucoup de papillons, cela semble rendre toute prévision chimérique — sans parler des autres espèces animales, qui peuvent être autrement plus dangereuses, à commencer par l’homme. Une théorie ne peut se fonder sur un constat d’échec.
Voici, par contre, ce qu’écrit Lorenz : « J’avance l’idée qu’au fil des années, les petites perturbations ne modifient pas les fréquences d’apparition des événements tels que les ouragans. La seule chose qu’elles peuvent faire, c’est de modifier l’ordre dans lequel ces événements se produisent. » Voilà un énoncé scientifique.
Le but de la prévision n’est plus de déterminer la température qu’il fera à Paris le 13 octobre 2029 — par exemple, ce serait 20 degrés —, mais plutôt d’essayer de prévoir des moyennes, des statistiques, comme par exemple le nombre de jours de pluie à Paris en octobre 2029. L’idée est que ces statistiques sont peut-être insensibles aux conditions initiales : les papillons brésiliens n’y peuvent rien. Cette hypothèse de la possible coexistence d’un chaos météorologique, dans lequel les mouvements futurs sont sensibles aux conditions initiales, et d’une stabilité statistique, insensible aux conditions initiales, mettra longtemps avant d’être formulée mathématiquement.
Trois siècles et demi de systèmes dynamiques
Depuis plus de trois siècles et demi, les mathématiciens étudient les systèmes dynamiques. Depuis la vision presque arrogante de Laplace, qui envisageait d’embrasser dans la même formule le mouvement des plus grands corps de l’univers et celui du plus léger atome, nous ne voyons plus le monde de la même façon. Les cycles harmonieux et prévisibles ont dû faire place au fer à cheval chaotique, dont il a fallu apprivoiser la dynamique. Mais quelle place faut-il faire au chaos ? Comment expliquer qu’on ait mis si longtemps avant de remarquer des phénomènes chaotiques ? L’importance relative des comportements harmonieux et prévisibles par rapport aux comportements chaotiques reste le grand problème du moment.
Quel est le comportement le plus fréquent dans la nature ? Bien sûr, vous avez compris que, lorsque je parle de nature, je parle tout autant du monde physique que du monde mathématique, infiniment plus étendu. Vaste programme de recherche, sur lequel un grand nombre de mes collègues mathématiciens travaillent actuellement avec enthousiasme. Je formule le vœu que ces collègues n’oublieront pas les leçons de l’histoire, qu’ils ne s’isoleront pas dans leur monde mathématique et qu’ils tireront tout le parti possible de l’interaction avec toutes les autres sciences, et qu’ils n’oublient pas que Newton et Poincaré étaient aussi des physiciens.
Vous venez d’écouter un texte que j’ai écrit il y a une dizaine d’années, intitulé L’Harmonie et le Chaos, à l’occasion d’une cérémonie à l’Institut de France. La musique est de Ligeti, deux morceaux intitulés Atmosphères et Lontano. Je trouve que ça illustre assez bien l’harmonie et le chaos.
