L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, à la géométrie. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
En 1741, Alexis Clairaut publie ses Éléments de géométrie, un ouvrage destiné aux débutants qui rompt avec la présentation très abstraite héritée d’Euclide.
Étienne Ghys revient sur cette méthode pédagogique fondée sur l’expérience, l’arpentage, le bon sens et la démonstration, et s’interroge sur ce qu’elle peut encore nous apprendre aujourd’hui sur l’enseignement des mathématiques.
Un jeune savant, un livre pour débutants
Étienne Ghys : Entre 1734 et 1736, Alexis Clairaut rédige une petite merveille, les Éléments de géométrie, qui seront publiés en 1741. Il n’a que 21 ans en 1734. C’est alors un savant qui prépare son expédition dans le Grand Nord. Quelle peut être sa motivation pour écrire, dans une période scientifiquement intense pour lui, un livre élémentaire destiné à des débutants ? Peut-être s’inspire-t-il de son père, qui avait enseigné les mathématiques, ou peut-être s’agit-il de la rédaction des cours de géométrie qu’il a donnés à la marquise du Châtelet ? Quoi qu’il en soit, ce fut un succès. Le livre fut réédité un grand nombre de fois.
Bien évidemment, le système scolaire de l’Ancien Régime était bien différent de ce que nous connaissons aujourd’hui. Le nombre total d’enfants scolarisés en France était probablement inférieur à 100 000. Une bonne partie d’entre eux se trouvait dans des collèges, uniquement de garçons bien sûr, tenus par des jésuites ou des oratoriens. On y apprenait essentiellement le latin et le grec, et on n’abordait les mathématiques que la dernière année, dite de philosophie. La géométrie s’apprenait à travers les Éléments d’Euclide, écrits deux mille ans plus tôt.
La sécheresse des Éléments d’Euclide
Il est difficile de s’imaginer aujourd’hui le rôle que jouait alors cet ouvrage dans l’enseignement. On dit qu’après la Bible, ce serait le livre qui aurait été imprimé dans le plus grand nombre d’exemplaires. On dit aussi que l’enfant Clairaut aurait appris à lire dans les Éléments d’Euclide, qui pouvait donc servir également d’abécédaire. Et pourtant, Euclide n’est pas facile à lire. D’ailleurs, son but n’est en aucun cas pédagogique : il se propose de présenter l’ensemble des connaissances mathématiques de son époque, de manière logique et implacablement déductive.
Il commence donc par des définitions, des notions abstraites, et déroule ensuite une liste de théorèmes et de démonstrations. Chaque théorème se déduit des précédents par la pure logique. Les objets dont il s’agit, les triangles, les quadrilatères ou les cercles, ne sont que des abstractions, des idées, chères à Platon. Il n’y a aucune tentative de les relier à des objets qu’on peut rencontrer autour de soi, dans la vie de tous les jours. Les Éléments d’Euclide, même si un lecteur moderne ne manque pas d’y voir des défauts, constituent pour le mathématicien professionnel une première tentative d’atteindre l’idéal de perfection d’une théorie mathématique formalisée.
Mais Clairaut s’insurge. Il trouve que l’ouvrage d’Euclide est sec — et il a bien raison. Écoutons-le : « Quoique la géométrie soit par elle-même abstraite, il faut avouer cependant que les difficultés qu’éprouvent ceux qui commencent à s’y appliquer viennent de la manière dont elle est enseignée dans les Éléments ordinaires, sous-entendu les Éléments d’Euclide. On y débute toujours par un grand nombre de définitions, de demandes, d’axiomes et de principes préliminaires qui ne semblent promettre rien que de sec au lecteur. » Clairaut se propose donc d’écrire un livre destiné à des « commençants », comme il dit, qui souhaitent apprendre la géométrie tout simplement. C’est l’un des tout premiers livres pédagogiques de géométrie.
Mesurer la terre pour inventer la géométrie
Clairaut est prêt à faire quelques entorses à l’ordre logique froid, mais surtout, il centre son livre sur l’aspect expérimental de la géométrie. Les rectangles ne sont plus des idées, mais des terrains agricoles. Il s’agit par exemple d’évaluer numériquement leur superficie. Clairaut suit une méthode historique. « La mesure des terrains m’a paru ce qu’il y a de plus propre à faire naître les premières propositions de géométrie », écrit-il. « C’est en effet l’origine de cette science, puisque géométrie signifie mesure de terrain. Quelques auteurs prétendent que les Égyptiens, voyant continuellement les bornes de leurs héritages détruites par le débordement du Nil, jetèrent les premiers fondements de la géométrie en cherchant les moyens de s’assurer exactement de la situation, de l’étendue et de la figure de leurs domaines. »
Voilà donc le grand débat qui fait encore rage aujourd’hui. Faut-il enseigner une mathématique implacablement logique et dépourvue de tout aspect expérimental, mais remarquablement efficace dans la formation intellectuelle des enfants ? Ou faut-il au contraire transformer les livres de mathématiques en des sortes de manuels pratiques de l’arpenteur, pleins de formules toutes faites, de recettes prêtes à l’emploi ?
Le bon sens contre les froids syllogismes
Le compromis choisi par Clairaut me semble remarquablement bien dosé. D’un côté, il souhaite laisser une place au bon sens. Euclide, par exemple, se donne la peine de démontrer que deux cercles qui se coupent n’ont pas le même centre — on n’en sera pas surpris : « Ce géomètre avait à convaincre des sophistes obstinés, qui se faisaient gloire de se refuser aux vérités les plus évidentes. Il fallait donc qu’alors la géométrie eût, comme la logique, le secours des raisonnements en forme pour fermer la bouche à la chicane. Mais les choses ont bien changé de face : tout raisonnement qui tombe sur ce que le bon sens seul décide d’avance est aujourd’hui en pure perte, et n’est propre qu’à obscurcir la vérité et à dégoûter le lecteur. » Faire usage du bon sens plutôt que des froids syllogismes, n’est-ce pas un crime de lèse-majesté ? Clairaut reste très attaché aux démonstrations dans son livre, mais il a conscience qu’on ne présente pas les choses de la même manière au débutant et au mathématicien aguerri.
D’un autre côté, Clairaut se garde bien d’écrire un manuel d’arpentage : « Comme j’ai choisi la mesure des terrains pour intéresser les commençants, on ne doit pas craindre qu’on confonde ces Éléments avec les traités ordinaires d’arpentage. La mesure des terrains n’est point le véritable objet de ce livre, mais seulement l’occasion pour faire découvrir les principales vérités mathématiques. » Clairaut consacre par exemple un joli chapitre à la détermination de la surface d’une sphère de rayon R. Les preuves sont intuitives, peut-être pas tout à fait complètes, mais jamais il n’aurait osé faire ce que les programmes actuels imposent aujourd’hui à nos enfants : leur demander d’apprendre par cœur la formule 4πR² comme une recette toute faite, sans la moindre explication. Dans ces conditions, il me semblerait préférable de ne pas enseigner du tout cette formule : il est bien rare qu’un citoyen ordinaire ait besoin de calculer la surface d’une sphère, et s’il lui arrive d’en avoir besoin, il trouvera la formule sur Wikipédia. Apprendre des mathématiques, c’est tout autre chose qu’apprendre des formules.
De la circulaire de 1971 à l’arpenteur Clairaut
Comment définir ce qu’est une droite ? Faut-il prendre la définition officielle qui fut infligée à tous les enfants de quatrième de France et de Navarre, en 1972, par la circulaire numéro 71-370 du ministère de l’Éducation nationale ? Écoutez : « On appelle droite un ensemble D d’éléments dits points, muni d’une bijection g de D sur R et de toutes celles f qui s’en déduisent de la manière suivante : a étant un nombre réel arbitraire, on a f(m) = g(m) + a, ou bien f(m) = –g(m) + a. La famille des bijections f s’appelle une structure euclidienne. Si m et m′ sont deux points de D, le nombre positif d(m, m′) = |f(m′) – f(m)| ne dépend pas du choix de f, et par suite ne dépend que de la structure euclidienne de D. d(m, m′) est la distance des deux points m et m′. » Cette définition est parfaitement ridicule au collège — mais je vous l’assure, très intéressante mathématiquement — et elle a beaucoup fait rire, et probablement pleurer également. François Mitterrand a même écrit un petit article moqueur sur ce sujet.
Faut-il définir les droites comme le propose Hilbert, en 1899, dans ses Fondements de la géométrie, où il cherche à mettre Euclide à l’abri des attaques logiques ? Vous ne serez pas surpris par le choix de Clairaut, le géodésien, l’arpenteur : le plus court chemin entre deux points. La ligne droite est la plus courte d’un point à un autre, et par conséquent, la mesure de la distance entre deux points.
Des rivières et des maisons dans les figures de géométrie
En dessous des figures de son livre, Clairaut a placé un petit mètre étalon — je devrais dire une toise, l’étalon de l’époque — qui joue le rôle de l’échelle sur une carte de géographie. Il a même dessiné un petit carré pour indiquer l’unité de surface. Ce serait inconcevable chez Euclide : ses figures sont bien sûr sans dimension, elles n’ont aucune existence réelle. Chez Clairaut, certaines figures sont même traversées par des rivières, il y a des arbres, des petites maisons, etc. Bien sûr, il est géodésien, et sa vision de la géométrie est liée aux mesures sur le terrain. Sa géométrie n’a rien de sec.
Observons le théorème de Thalès, tel qu’il est enseigné aujourd’hui dans les collèges de notre pays. Le théorème est vrai puisque le professeur le dit, puisque c’est écrit dans mon livre et puisque je l’ai vérifié avec mon double décimètre. Le manuel ne remettra jamais en question cette vérité, que l’élève doit accepter comme un crédo. Pauvre élève : comment peut-il comprendre qu’on lui demande parfois de chicaner, qu’on l’ennuie en lui demandant des justifications complètes, alors qu’il lui suffirait de mesurer les dimensions sans sourciller, et que, dans d’autres occasions, pour le théorème de Thalès par exemple, il a le droit de se contenter de mesurer, sans sourciller non plus ? N’a-t-on pas oublié qu’il s’agit de mathématiques et pas d’arpentage ?
Entre deux extrêmes : le compromis de Clairaut
L’enseignement de la géométrie, lui aussi, est pris entre deux extrêmes. D’un côté, il peut s’agir de présenter une démarche intellectuelle abstraite, logique, dont l’adéquation au monde réel n’a finalement aucune importance. L’élève peut tirer d’innombrables profits de cette approche, allant bien au-delà des mathématiques, comme au-delà de la science : une formation de l’esprit utile, et peut-être même nécessaire, à tous les citoyens. L’écueil est de tomber dans les excès des mathématiques modernes des années 1970, qui ont dérouté tant de nos concitoyens.
D’un autre côté, on peut présenter une science utile dans la vie de tous les jours, appliquée aux problèmes d’arpentage par exemple, mais pas seulement. Il est bon de connaître la géométrie pour construire des ponts ou pour construire des avions. L’écueil est alors de confondre la géométrie avec un manuel d’arpentage plein de recettes et de formules toutes faites. Et c’est dans cet excès que nous sommes tombés aujourd’hui.
Il me semble que la proposition de Clairaut est un excellent compromis, qui pourrait être pris comme exemple. L’aspect expérimental de la géométrie y est omniprésent, mais l’arpentage n’y est présent que comme une motivation, jamais comme une fin en soi. Il n’oublie pas l’essence des mathématiques, son caractère logique et déductif.
Ce que Clairaut peut encore nous apprendre
Un autre aspect du livre de Clairaut est que son contenu est raisonnable : il contient beaucoup moins de mathématiques que les Éléments d’Euclide, par exemple. Là encore, nous pourrions peut-être nous en inspirer aujourd’hui. Il y a tant de choses, à l’extérieur de la géométrie, que nos élèves doivent apprendre et qui n’existaient pas à l’époque de Clairaut. Il est bien normal que la géométrie laisse un peu de place aux autres parties des mathématiques, bien sûr, comme la théorie des probabilités par exemple, mais également à d’autres disciplines qui ont émergé, comme la biologie ou l’informatique. Ce qui est important, ce n’est pas la quantité de géométrie qu’on enseigne, c’est la façon dont on l’enseigne.
Il va de soi qu’il ne serait pas une bonne idée de conserver intégralement le contenu du livre de Clairaut dans des manuels de géométrie modernes. Depuis Clairaut, la géométrie s’est métamorphosée, et il ne s’agit plus d’étudier seulement des triangles ou des cercles dans le plan. Le concept de symétrie, par exemple, a envahi les mathématiques, et les groupes jouent maintenant un rôle central. De même, la brave géométrie d’Euclide a dû cohabiter avec d’autres géométries bien différentes. Aujourd’hui, nous vivons dans plusieurs géométries qui se superposent, celles du cyberespace, de la SNCF, par exemple. L’arpentage des terrains n’a plus la même importance scientifique, et il me semble d’ailleurs que la jeunesse aujourd’hui est peu motivée par l’arpentage. Je me demande si Clairaut, s’il écrivait son livre aujourd’hui, loin du rêve d’arpentage, n’aurait pas plutôt discuté de la géométrie des grands réseaux de neurones ou des réseaux sociaux pour motiver la géométrie discrète.
Un dernier mot admiratif sur Clairaut. Je l’ai dit, il n’était pas un professionnel de l’enseignement, mais un chercheur actif. Il lui a semblé particulièrement important qu’un chercheur écrive un manuel de géométrie pour débutants. Dans son livre, il n’a pas hésité à inclure des considérations qui concernent sa propre recherche, la géodésie, certes à un niveau très élémentaire. « J’espère, dit-il, que cette méthode aura encore une utilité plus importante, c’est qu’elle accoutumera l’esprit à chercher et à découvrir. » La recherche scientifique en contact avec l’enseignement élémentaire, l’esprit de la main à la pâte, en quelque sorte : quel exemple et quel défi pour nous.
Vous avez probablement reconnu quelques-unes des Variations Goldberg de Bach, qui illustrent plutôt bien la géométrie.
