L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux énigmes et métaphores mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Derrière Lewis Carroll, l’auteur d’« Alice au pays des merveilles », se cache un obscur professeur de mathématiques d’Oxford, Charles Dodgson. Étienne Ghys raconte ses énigmes destinées aux écolières victoriennes — et résout l’une d’elles pas à pas.
Une promenade en montagne, un problème d’algèbre déguisé en poème, et un jeu de logique pour apprendre à raisonner en s’amusant.
Le mathématicien derrière le conteur
Vous n’avez probablement jamais entendu parler de Charles Dodgson, un obscur professeur de mathématiques d’Oxford au XIXe siècle. Vous le connaissez pourtant : c’est sous le pseudonyme de Lewis Carroll qu’il a écrit Alice au pays des merveilles et De l’autre côté du miroir. On raconte — je ne sais pas si c’est vrai — que la reine Victoria avait tellement aimé Alice au pays des merveilles qu’elle fit demander à l’auteur de lui envoyer ses autres livres. Quelle surprise lorsqu’elle reçut des ouvrages mathématiques, dont certains très techniques.
On doit à Charles Dodgson un petit livre étonnant, Problèmes d’oreiller : de petits exercices de mathématiques qu’il s’agit de résoudre de tête, dans son lit, dans l’obscurité. Avis aux amateurs. J’aime bien aussi son recueil Tangled Tales, qu’on pourrait traduire par « Histoires embrouillées », malheureusement pas traduit en français à ma connaissance. Il s’agit de charmantes petites histoires destinées à des écolières — on connaît la fascination de Lewis Carroll, le mot est peut-être même un peu faible, pour les petites filles. Chacune de ces historiettes contient une énigme mathématique, qui est, comme il l’écrit lui-même, « le médicament que content avec tant d’habileté et si peu de succès de dissimuler sous la confiture ».
Excelsior, ou la promenade embrouillée
Voici sa première histoire, en traduction libre — j’ai remplacé les miles par des kilomètres pour ne pas compliquer les choses. La lueur rougeoyante du coucher du soleil s’effaçait déjà dans les sombres ombres de la nuit lorsque deux voyageurs furent observés en train de descendre rapidement, à un rythme de six kilomètres à l’heure, le flanc accidenté d’une montagne. Le plus jeune bondissait de rocher en rocher avec l’agilité d’un fauve. « Nous avons un bon rythme, dit-il. Nous ne sommes pas allés aussi vite à la montée. » « En effet, répondit l’autre avec un gémissement. Nous n’avons fait que trois kilomètres à l’heure à la montée. » « Et sur le plat, notre vitesse est… » suggéra le plus jeune, qui n’était pas bon en calcul. « Quatre kilomètres à l’heure, répondit l’autre avec lassitude. Pas un gramme de plus, ajouta-t-il avec cet amour de la métaphore si commun à la vieillesse, et pas un sou de moins. »
« Il était trois heures de l’après-midi lorsque nous avons quitté notre hôtel, dit le jeune homme. Nous serons à peine de retour à l’heure du souper. » « Nous n’aurons que nos desserts, soupira le plus âgé. Il sera neuf heures du soir lorsque nous regagnerons notre hôtel. Nous aurons fait beaucoup de kilomètres aujourd’hui. » « Combien ? » s’écria le jeune homme, avide de savoir. Le vieil homme resta silencieux. « Je te dirai au centimètre près, répondit-il après un moment de réflexion, quelle distance nous aurons parcourue entre trois heures et neuf heures du soir. » Un gémissement fut la seule réponse du jeune homme.
Résumons en trois phrases, en retirant la confiture : des promeneurs partent à trois heures de l’après-midi et reviennent à neuf heures du soir. Ils ont d’abord suivi un chemin plat, puis une montée jusqu’à un sommet, puis sont revenus par le même sentier. Ils marchaient à quatre kilomètres à l’heure sur le plat, trois à la montée et six à la descente. Quelle distance ont parcourue les promeneurs ?
La solution — et la ruse de Lewis Carroll
Réponse : pour un kilomètre de plat, il faut marcher quinze minutes ; puisque chaque kilomètre est parcouru dans les deux sens, à l’aller et au retour, chaque kilomètre de plat est donc parcouru en trente minutes au total. Pour un kilomètre de montée, il faut vingt minutes, et ce même kilomètre sera parcouru en dix minutes à la descente : il faut donc également trente minutes pour parcourir un kilomètre de côte dans les deux sens. Qu’il s’agisse d’un kilomètre de terrain plat ou incliné, on passe donc le même temps sur chaque kilomètre : trente minutes. Les promeneurs ont marché six heures, et ont donc parcouru douze kilomètres dans chaque sens, soit vingt-quatre kilomètres au total. Mais ne me demandez pas la longueur des parties plates et en pente : je ne pourrai pas vous répondre.
En général, on apprend que pour résoudre un problème d’algèbre, il faut autant d’équations que d’inconnues. Ici, on a l’impression qu’il y a deux inconnues — les longueurs des deux parties du chemin — et l’on n’a qu’une seule donnée, celle du temps de parcours total. Mais c’est une ruse : on ne cherche que la longueur totale, et l’on a beaucoup de chance, car Lewis Carroll a bien choisi les vitesses de marche pour qu’on passe le même temps sur chaque kilomètre.
Les élèves répondaient aux énigmes sous couvert de pseudonymes. Dans ce cas précis, deux écolières, Simple Susan et Money Spinner, ont trouvé la solution et l’ont rédigée sous la forme d’un petit poème, que je traduis comme je peux, en en perdant sans doute la fraîcheur : « Ils sont partis à trois heures. Jusqu’où ils allèrent sur un terrain plat, ça m’est égal. […] Pourtant, je peux bien dire la distance qu’ils ont dû parcourir : sur les collines et les plaines, entre trois heures et neuf heures, les kilomètres étaient de vingt-quatre. »
Euclide, la logique, et l’amour du jeu
Lewis Carroll a écrit beaucoup d’autres choses. Je passe sous silence son livre sur les déterminants, qui contient un vrai théorème que la plupart des mathématiciens feraient bien de connaître. Il a écrit une espèce de tragédie étonnante en quatre actes, intitulée Euclid and His Modern Rivals — « Euclide et ses rivaux modernes » —, dont le but est de convaincre le lecteur que les Éléments d’Euclide, écrits plus de deux mille ans auparavant, restent un modèle de pédagogie, et qu’il ne faut pas céder au modernisme dans l’enseignement de la géométrie. Euclide y apparaît sous la forme d’un fantôme venant défendre son livre contre treize manuels modernes.
J’aime bien aussi son livre The Game of Logic, traduit en français sous le titre Logique sans peine : un jeu qui se joue sur une sorte de plateau et qui permet d’apprendre à raisonner correctement. L’humour de Lewis Carroll y est partout présent, et l’on s’amuse beaucoup, même si c’est un livre sérieux. Voici la préface, que j’ai lue quand j’étais adolescent : « Le jeu nécessite neuf pions, quatre d’une couleur et cinq d’une autre — disons quatre rouges et cinq gris. Outre les neuf pions, il faut aussi un joueur, au moins. Je ne connais aucun jeu qui puisse être joué avec moins que ce nombre, alors qu’il y a plusieurs jeux qui en utilisent plus. Prenez le cricket, par exemple, qui en exige vingt-deux : combien il est plus facile, quand on veut jouer, de trouver un joueur plutôt que vingt-deux. En même temps, bien qu’un joueur suffise, on peut s’amuser beaucoup plus en travaillant à deux, et en corrigeant les erreurs de l’autre. Un deuxième avantage de ce jeu est que, en plus d’être une source inépuisable de divertissement, il permet aux joueurs de s’instruire un peu. Mais y a-t-il un grand mal à cela, tant qu’on a de quoi s’amuser ? »
