L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux énigmes et métaphores mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Léonhard Euler est l’un des mathématiciens les plus prolifiques de l’histoire. Étienne Ghys revient sur l’une de ses récréations les plus célèbres, le problème des ponts de Königsberg, qu’il modernise en l’appliquant aux ponts de Paris.
Une promenade, une question toute simple, et la naissance d’une branche entière des mathématiques : la topologie.
Un géant scientifique aveugle mais infatigable
Léonhard Euler est l’un des mathématiciens les plus importants de l’histoire. Né en 1707 et mort en 1783, il a passé l’essentiel de sa vie en Allemagne, à Berlin, et en Russie, à Saint-Pétersbourg. C’est le mathématicien le plus prolifique de tous les temps : il a publié plus de neuf cents articles ou livres traitant de toutes sortes de sujets — mathématiques bien sûr, mais aussi physique, astronomie, géographie et même musique. Le tout en latin, en français, en allemand ou en russe.
Il est aujourd’hui impossible qu’une seule personne connaisse toute son œuvre, mais les étudiants entendent sans cesse son nom : angles d’Euler, caractéristique d’Euler, constante d’Euler, cercle d’Euler, droite d’Euler, équations d’Euler-Lagrange, équations d’Euler pour les fluides — la liste pourrait continuer encore longtemps. Il a pourtant été aveugle pendant une bonne partie de sa vie, sans que cela n’affecte sa productivité. Bref, un géant scientifique très impressionnant, qui n’hésitait pas, de temps en temps, à proposer des récréations mathématiques sous forme d’énigmes.
Le problème des ponts, de Königsberg à Paris
L’une de ces énigmes est connue sous le nom de « problème des ponts de Königsberg ». Il a été francisé au XIXe siècle par Édouard Lucas, et je vais le moderniser au XXIe siècle : le problème des ponts de Paris.
Est-il possible de faire une longue promenade à Paris, à pied, qui emprunte chacun des ponts sur la Seine une fois et une seule, en faisant en sorte qu’à la fin de la promenade on soit de retour à son point de départ ?
D’abord, quelques données. Sur la Seine, il y a trois îles : l’île Saint-Louis, l’île de la Cité et l’île aux Cygnes. On peut donc distinguer cinq régions : ces trois îles, la rive gauche et la rive droite. Trente-sept ponts relient ces régions — en fait, un peu plus, car certains ponts, comme le pont Saint-Michel par exemple, relient d’abord la rive gauche à l’île de la Cité, puis l’île de la Cité à la rive droite ; on peut donc le considérer comme un pont double.
Voici les chiffres : six ponts partent de l’île Saint-Louis (deux vers la rive gauche, trois vers la rive droite, un vers l’île de la Cité) ; dix ponts partent de l’île de la Cité (un vers l’île Saint-Louis, cinq vers la rive gauche, quatre vers la rive droite) ; six ponts partent de l’île aux Cygnes (trois vers la rive droite, trois vers la rive gauche) ; vingt-neuf ponts partent de la rive gauche (trois vers l’île aux Cygnes, cinq vers l’île de la Cité, deux vers l’île Saint-Louis, dix-neuf vers la rive droite) ; enfin, vingt-neuf ponts partent de la rive droite.
Partant des cinq régions, on compte donc six, dix, six, vingt-neuf et vingt-neuf ponts. Peut-on faire une promenade en boucle qui passe par tous les ponts, une fois et une seule ? Indication : pensez au nombre pair et impair de ces chiffres.
La réponse : une question de parité
Si l’on fait une boucle, à chaque fois qu’on arrive dans l’une des cinq régions en empruntant un pont, on en sort en empruntant un autre pont. Les ponts qui partent d’une région viennent donc par paires — arrivée, départ. Le nombre de ponts qui partent d’une région doit donc être pair. Cela vaut également pour la région de départ : le premier pont qu’on emprunte est associé au dernier, celui qui nous fait revenir au point de départ.
Or il y a vingt-neuf ponts qui partent de la rive gauche comme de la rive droite, et vingt-neuf est un nombre impair. Le problème est donc résolu : la promenade en boucle est impossible.
Autre question : peut-on faire une promenade qui passe par tous les ponts une fois et une seule, mais sans nécessairement revenir à son point de départ ? D’après l’argument précédent, les points de départ et d’arrivée doivent avoir un nombre impair de ponts — il faut donc partir, par exemple, de la rive gauche. Quel chemin suivre ensuite ? C’est au lecteur de réfléchir un peu.
De l’amusette à la naissance de la topologie
Plus facile : vous souvenez-vous peut-être d’une amusette de l’école primaire, qui consiste à dessiner une enveloppe — un carré avec ses deux diagonales, plus un triangle par-dessus — d’un seul coup de crayon ? Tout cela est-il vraiment une amusette ? Pas tout à fait : cette amusette est considérée comme la naissance d’une théorie mathématique importante, la topologie, dont Leibniz avait eu l’intuition.
Voici ce qu’Euler lui-même écrit dans son article sur les ponts, qui montre qu’il avait les idées claires : « Outre cette partie de la géométrie qui s’occupe de la grandeur et de la mesure, et qui a été cultivée dès les temps les plus reculés avec une grande application, Leibniz a fait mention, pour la première fois, d’une autre partie encore très inconnue actuellement, qu’il a appelée la géométrie de situation. D’après lui, cette branche de la science s’occupe uniquement de l’ordre et de la situation, indépendamment des rapports de grandeur. Mais quels sont les problèmes qui appartiennent à cette géométrie ? Quelles sont les méthodes qu’il faut employer pour leur résolution ? C’est ce qui n’a pas encore été nettement défini. Récemment, j’ai entendu parler d’un problème qui paraît se rapporter à la géométrie de situation, puisqu’il ne contient dans son énoncé que des considérations d’ordre et non de mesure.
Aussi ai-je résolu d’exposer ici, comme un spécimen, la méthode que j’ai trouvée pour résoudre ce problème. À Königsberg, en Prusse, il y a une île appelée Kneiphof. Le fleuve qui l’entoure se divise en deux bras, sur lesquels sont jetés sept ponts. Cela posé, peut-on arranger son parcours de telle sorte que l’on passe sur chaque pont et qu’on ne puisse y passer qu’une seule fois ? Cela semble possible, disent les uns, impossible disent les autres. Cependant, personne n’a la certitude de son sentiment. Je me suis donc proposé le problème général suivant : quelle que soit la forme d’un fleuve, sa distribution en bras par des îles en nombre quelconque, et quel que soit le nombre des ponts jetés sur le fleuve, trouver si l’on peut franchir celui-ci en passant une fois et une seule sur chacun des ponts. »
Le mathématicien et la princesse
J’ai toujours été intimidé par le personnage d’Euler, qui me semblait froid — peut-être à cause de la manière dont Condorcet a raconté sa mort : « Le 7 septembre 1783, il cessa de calculer et de vivre. » Cela me faisait plus penser à une machine à calculer qu’à un être humain. Mais je me trompais, et j’ai complètement changé d’avis lorsque j’ai lu son livre Lettres à une princesse d’Allemagne. Il avait accepté de s’occuper de l’éducation scientifique d’une jeune princesse de quinze ans, Frédérique-Charlotte, nièce de Frédéric le Grand, roi de Prusse à l’époque. Ce livre reprend plus de deux cents lettres absolument admirables, d’ailleurs écrites en bon français, qui montrent toute la subtilité du personnage.
