L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux énigmes et métaphores mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
La théorie des probabilités n’est pas facile : elle fourmille de paradoxes qui n’en sont pas vraiment. Étienne Ghys propose cinq énigmes, de la pièce de monnaie au soleil qui se lève, pour mieux comprendre pourquoi on raisonne mal avec le hasard.
De Laplace à un problème de relecture, cinq façons de se tromper — et de comprendre pourquoi.
Une discipline longtemps mal-aimée
La théorie des probabilités n’est pas facile. Elle fourmille de paradoxes qui n’en sont pas vraiment, bien sûr : on ne raisonne pas avec le hasard comme avec la géométrie. Longtemps, au moins en France, on considérait qu’il ne s’agissait pas vraiment de mathématiques. Jean-Pierre Kahane, l’un des meilleurs spécialistes des probabilités, membre de l’Académie des sciences et hélas décédé maintenant, m’a raconté que lorsqu’il a été admis au CNRS comme chercheur dans les années 1950, ce n’était tout simplement pas possible dans la section de mathématiques : il a été recruté en physique théorique.
Les choses ont bien changé depuis. En 2006, l’une des médailles Fields a été attribuée à Wendelin Werner pour ses travaux en probabilités. Aujourd’hui, les probabilités ont une place d’honneur dans les programmes scolaires, et c’est tant mieux, tant les liens avec la société sont importants. Voici cinq énigmes probabilistes que vous apprécierez peut-être.
Première énigme : dix fois pile
Vous lancez une pièce dix fois de suite et vous obtenez dix fois pile. Quelle est la probabilité que le onzième lancer donne encore pile ?
Réponse : c’est une chance sur deux, un demi, ni plus ni moins. Les lancers passés n’influencent pas ceux du futur. C’est simple, c’est évident, mais nous n’arrivons pas à y croire dans la vie de tous les jours. On parle de la loi des grands nombres, selon laquelle si l’on continue longtemps, piles et faces devraient se répartir de manière égalitaire, et l’on se dit que si le pile est tombé dix fois, il faut bien que le face se rattrape. Des parents qui ont eu quatre filles pensent qu’il est un peu plus probable que le prochain enfant soit un garçon. On raconte que les soldats de la Première Guerre mondiale se cachaient dans des trous d’obus récents, car il y aurait peu de chances qu’une bombe tombe deux fois au même endroit. Et pourtant non : les lancers de pile ou face sont indépendants, et la probabilité de pile reste toujours un demi.
Sauf que peut-être…
Deuxième énigme : le soleil se lèvera-t-il demain ?
Quelle est la probabilité que le soleil se lève demain matin ? Voilà une bien curieuse formulation, due à Pierre-Simon de Laplace, en 1814, dans son magnifique Essai philosophique sur les probabilités.
Dans l’énigme précédente, on ne discutait pas de la pièce de monnaie utilisée : on souhaitait implicitement qu’elle ne soit pas biaisée, et qu’elle donne la même probabilité à pile et à face, un demi et un demi. Mais peut-être qu’en voyant dix fois de suite pile, on pourrait douter de la pièce — elle est peut-être faussée. Laplace imagine une pièce biaisée pour laquelle on n’a aucune idée de la probabilité de pile ou de face. Supposons qu’on la lance mille fois de suite et qu’on trouve, disons, quatre cent cinquante fois pile. On pense bien sûr que pile est un peu moins probable que face. Sachant cela, quelle est la probabilité que le prochain essai donne pile ?
À première vue, on peut penser que cette probabilité est de quatre cent cinquante sur mille. Mais Laplace fait un calcul plus précis : il montre que cette probabilité est de quatre cent cinquante et un divisé par mille et deux. Pour donner un exemple qui frappe les esprits — et un peu ridicule, Laplace en est conscient —, sachant que depuis cinq mille ans (l’âge de la Terre du temps de Laplace, auquel il ne croyait d’ailleurs pas trop) le soleil s’est toujours levé, il montre que la probabilité pour que le soleil ne se lève pas demain est d’une chance sur un million huit cent vingt-six mille deux cent cinquante et un. Nous pouvons dormir tranquilles.
Revenons à la première énigme, sur les parents de famille de quatre filles : qui sait, peut-être que les choses ne sont pas si simples, et que certaines femmes ont tendance à avoir des filles. Pour les soldats de la Première Guerre mondiale, on peut penser que les canons sont fixes et qu’ils ont tendance à envoyer des bombes dans des endroits assez localisés, si bien qu’il vaudrait mieux éviter les trous d’obus récents. Si l’on envisage que la pièce lancée dix fois de suite pile est peut-être biaisée, et si l’on fait confiance au calcul de Laplace, la probabilité pour que le prochain coup soit encore pile est de onze douzièmes, et non plus d’un demi. Pour évaluer une probabilité, il faut toujours savoir de quoi l’on parle, ce que l’on sait et ce que l’on ne sait pas sur la situation étudiée. C’est l’une des difficultés, et le charme, de cette théorie.
Troisième énigme : la politique de natalité d’un pays imaginaire
Cette énigme est inspirée du livre de Gamow et Stern, publié en 1959 sous le titre Jeux mathématiques. Un pays imaginaire pratique une politique de natalité bien étrange : les couples peuvent avoir un ou deux enfants, mais ils ne peuvent en avoir un second que si le premier est une fille — vaguement inspirée de la politique de l’enfant unique en Chine, mais bien différente. Dans ce pays imaginaire, y aurait-il plus de garçons ou de filles ?
Simplifions le problème en supposant que la proportion de garçons et de filles est de cinquante pour cent à la naissance, que le sexe d’un premier enfant ne donne aucune information sur celui des autres, et qu’aucun avortement n’est décidé en fonction du sexe de l’enfant à venir.
On pourrait répondre trois choses. Que les femmes qui souhaitent un garçon ont en quelque sorte deux occasions d’en avoir un, donc qu’il y aura plus de garçons. Qu’on ne voit pas bien comment une telle règle pourrait changer la proportion filles-garçons, donc qu’il y aura autant de filles que de garçons. Ou encore que les familles à un enfant sont clairement moitié-moitié, mais que parmi les familles à deux enfants, une moitié a deux filles et l’autre une fille et un garçon, donc qu’il y a au total plus de filles.
La bonne réponse, en fait, est la plus simple : pour chaque accouchement, il y a une chance sur deux que ce soit un garçon, et cela indépendamment du fait qu’il s’agisse d’un premier ou d’un second enfant, indépendamment de la politique de natalité. Les naissances dans ce pays sont donc moitié-moitié, tout simplement comme partout ailleurs. L’erreur serait de raisonner en fonction des familles et de leur structure plutôt qu’en fonction de chaque naissance, prise individuellement. L’argument serait le même pour toute autre politique — par exemple celle qui consisterait à forcer les familles à ne plus avoir d’enfants dès l’arrivée du premier garçon : cela n’augmenterait ni ne diminuerait la proportion de filles.
Quatrième énigme : la boule noire
Un sac contient une boule noire et un certain nombre de boules blanches. Tour à tour, deux joueurs prennent une boule dans le sac ; le gagnant est le premier qui tire la boule noire. Est-il préférable de jouer le premier ? Réfléchissez d’abord au cas où il y a peu de boules dans le sac — une, deux, trois, quatre…
Réponse : tout dépend du nombre total de boules. Modifions légèrement le jeu : les deux joueurs tirent tour à tour une boule jusqu’à ce que le sac soit vide ; le gagnant est celui qui aura tiré la boule noire. C’est bien sûr le même jeu, mais on comprend mieux ainsi. Si le nombre total de boules est pair, à la fin du jeu chacun aura tiré le même nombre de boules, et il y a donc une chance sur deux pour chacun de gagner : peu importe qui commence. Mais si le nombre total de boules est impair, le premier joueur aura tiré une boule de plus, et il a donc un peu plus de chances d’avoir tiré la boule noire : dans ce cas, le premier joueur est légèrement avantagé.
Cinquième énigme : les erreurs invisibles d’un texte
Deux personnes, A et B, corrigent indépendamment les épreuves d’un texte. A trouve vingt erreurs, B en trouve quinze ; dix erreurs ont été découvertes par les deux. Peut-on estimer le nombre d’erreurs qui ont échappé à A et B, et qui restent donc inaperçues dans le texte ?
Comme c’est la dernière énigme, faisons quelques calculs. Appelons X le nombre total d’erreurs — c’est l’inconnue. La probabilité qu’une erreur soit détectée par A est de l’ordre de vingt divisé par X, puisqu’il en a détecté vingt sur un total de X ; pour B, c’est quinze divisé par X. Comme les deux relecteurs sont indépendants, la probabilité qu’une erreur soit détectée par les deux est le produit des deux probabilités, soit trois cents divisé par X au carré. L’espérance du nombre d’erreurs détectées par les deux est donc le produit de X par cette probabilité, soit trois cents divisé par X.
Or nous savons que cela concerne dix erreurs détectées par les deux. Donc trois cents divisé par X est égal à dix, ce qui donne X égal trente : on peut estimer le nombre total d’erreurs à trente. Dix d’entre elles ont été trouvées par les deux relecteurs, dix seulement par A, cinq seulement par B. Il en subsiste donc probablement cinq — plus précisément, l’espérance du nombre d’erreurs ignorées est de cinq, ce qui n’est pas tout à fait la même chose que d’affirmer qu’il en reste exactement cinq. J’espère que ces petites énigmes vous auront rendu un peu plus vigilants vis-à-vis des probabilités.
