L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux énigmes et métaphores mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Comment définir un mot mathématique sans tomber dans le cercle vicieux ? Étienne Ghys propose un quiz autour des définitions de l’Académie française — carré, cylindre, zéro, point, droite — comparées à celles des plus grands mathématiciens de l’histoire.
D’Aristote au Canard enchaîné, en passant par les mathématiques modernes des années 1970, un petit tour d’horizon des définitions ratées, réparées, ou franchement absurdes.
Le cercle vicieux du dictionnaire
Je voudrais vous proposer un petit quiz autour des définitions en mathématiques. Mais au fait, quelle est la définition du mot « définition » en mathématiques ? Voici ce qu’on trouve dans le dictionnaire de l’Académie française, neuvième édition, celle qui est en cours de finition : « Énoncé qui permet de concevoir une propriété, un être mathématique, ou de construire une figure. » D’accord, mais concrètement : pour définir un mot, il faut bien utiliser d’autres mots, et pour définir ces nouveaux mots, il faut de nouvelles définitions qui utilisent encore d’autres mots.
Le dictionnaire a donc deux solutions : soit il renonce à définir certains mots primitifs, en quelque sorte, que tout le monde comprend sans définition, soit il fait des cercles vicieux. Par exemple, la définition de « convexe », toujours dans la neuvième édition, est la suivante : « Qui présente une partie bombée vers l’extérieur, par opposition à concave. » Cherchons alors la définition de « bombé » dans le même dictionnaire : « Rendre convexe. » Voilà un joli cercle vicieux.
Les mathématiciens ont le même problème avec leurs définitions, même s’ils prétendent souvent éviter les cercles vicieux : ils sont obligés de ne pas définir certains termes, et de ne pas démontrer certaines affirmations, qu’ils appellent des axiomes. Nous allons voir que certaines définitions mathématiques, même rédigées par des mathématiciens sérieux, ne sont pas toujours plus claires que celles rédigées par les immortels de l’Académie française. Je vais vous présenter quelques définitions ; votre mission consiste à trouver le mot qui est défini.
Le carré qui n’osait pas dire son nom
Les sept premières éditions du dictionnaire de l’Académie, jusqu’en 1878, donnent la définition suivante : « Il se dit d’une surface plane qui a quatre côtés et quatre angles droits. » Vous pensez à un rectangle ? Et non : les académiciens de l’époque définissaient ainsi le carré. Ils n’avaient pas réalisé, pendant près de deux siècles, que tous les rectangles ne sont pas des carrés. Heureusement, la définition est réparée aujourd’hui : « Quadrilatère dont les angles sont droits et les côtés égaux. » Ouf.
Continuons à me moquer, avec un infini respect bien entendu, de mes confrères de l’Académie française. Quel est le mot qui se cache derrière cette définition de la septième édition : « Corps de figure longue et ronde, et d’égale grosseur partout » ? Dans la huitième édition, on précise : « Terme de géométrie. Solide engendré par une droite mobile tournant autour d’un axe auquel elle est parallèle. » Plus clair ? Un peu plus précis encore dans la dernière édition : « Solide engendré par un segment de droite tournant autour d’un axe auquel il reste parallèle. On nomme corps de révolution celui qui s’appuie sur un cercle. » Là, vous avez compris : il s’agit du cylindre.
La « figure longue et ronde, d’égale grosseur » ne définit rien du tout, bien sûr. Celle de la droite qui tourne est meilleure, mais elle laisse entendre qu’un cylindre doit être de taille infinie, comme une droite. La dernière édition est bien meilleure, puisqu’il s’agit maintenant d’un segment de droite, donc de taille limitée — mais elle explique que les cylindres n’ont pas nécessairement une base circulaire, ce qui est correct : un cylindre dont la base est un rectangle s’appelle un parallélépipède rectangle. Beaucoup de mes auditeurs seront sans doute surpris d’apprendre qu’un parallélépipède rectangle est un cylindre. Une anecdote, à ce propos : une fillette de huit ans m’a parlé naturellement de « pavé droit » pour décrire une boîte rectangulaire — c’est le mot employé à l’école primaire. On n’arrête pas le progrès.
Le zéro, un signe qui ne marque rien
Encore une pépite trouvée dans la septième édition. Quel mot se cache derrière cette définition : « On appelle ainsi, en arithmétique, un signe ou chiffre en forme de O qui, de lui-même, ne marque aucun nombre, mais qui, étant mis après les autres chiffres, sert à multiplier par dix, à rendre dix fois plus grands les nombres qu’ils expriment » ? C’est bien sûr la définition du zéro. La huitième édition, de 1935, est encore curieuse : « Chiffre en forme de O qui, dénué de valeur par lui-même, donne une valeur dix fois plus grande aux chiffres placés à sa gauche. »
Le point et la droite, d’Aristote au Canard enchaîné
Mais soyons honnêtes : les plus grands philosophes et mathématiciens du passé comme du présent donnent parfois des définitions tout aussi curieuses. Aristote, au IVe siècle avant Jésus-Christ : « Ce qui est indivisible en tout sens, mais qui a une position. » Euclide, au IIIe siècle avant Jésus-Christ : « Ce qui n’a aucune partie. » Leibniz, en 1679 : « Ce qui est le plus limité en extension, la position simple. » Il s’agit bien sûr, à chaque fois, de la définition du point.
Voici encore quelques définitions d’un mot très courant, que vous allez deviner. Platon, au IVe siècle avant Jésus-Christ : « La ligne dont les extrémités sont ombragées par les points intermédiaires. » Fourier, en 1795 : « La ligne est une série de points dont chacun est à égale distance de trois points donnés. » Cauchy, en 1832 : « La ligne AB est le lieu géométrique des points M tels qu’il n’y a aucun autre point D de l’espace pour lequel on ait en même temps MA égale à DA et MB égale à DB. »
Voici enfin ce que dit l’Académie pour ce mot que vous n’avez peut-être pas encore découvert. Troisième édition : « Qui n’est pas courbé, qui va d’un point à un autre par le plus court chemin. » Cette définition, je dois le dire, est finalement meilleure que celle de la neuvième édition : « Une ligne telle que deux de ses points, par lesquels elle passe, sont nécessaires et suffisants pour la définir. » Il s’agit, bien sûr, du mot « droite ».
Pour conclure, et pour ne pas laisser l’impression que seuls les anciens étaient confus et compliqués, voici la définition d’une droite recommandée pour tous les élèves de quatrième en 1971, du temps des « mathématiques modernes », concoctée sans aucun doute par les meilleurs mathématiciens du moment : « Une droite affine D est un ensemble E muni d’une famille Φ de bijections de E sur R, telle que, premièrement, pour tout F élément de Φ et pour tout élément (a, b) de R* × R, l’application définie par G(M) = F(M) + b appartient aussi à Φ ; deuxièmement, réciproquement, si F1 et F2 sont deux éléments quelconques de Φ, il existe (a, b) appartenant à R* × R tel que F2(M) = F1(M) + b. L’ensemble E est appelé le support de la droite affine D ; un élément M de E est appelé un point de la droite affine D. » Pauvre enfant, pauvre professeur qui devait enseigner cela.
Cette définition a eu l’honneur du Canard enchaîné, en décembre 1970, qui écrivait ceci : « Archimède, alors ! Pour pondre des trucs comme ça, à l’usage des gosses de quatrième, il faut être rudement fort en maths — mais peut-être rien qu’en maths. »
