L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux liens entre le son, la musique et les mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Qu’est-ce qu’un son, une fréquence ou une harmonique ? Patrick Flandrin, spécialiste du traitement du signal et président de l’Académie des sciences, explique à Étienne Ghys ce qui distingue une note pure d’une voix ou d’un instrument.
De la vibration du tympan à la décomposition de Fourier, l’entretien montre comment la physique, les mathématiques et la perception se rencontrent pour produire ce que nous appelons un son harmonieux.
Étienne Ghys : Patrick, on te présente parfois comme mathématicien, parfois comme physicien, parfois comme informaticien — un peu des trois. Toi, quand on te demande ce que tu fais, tu réponds souvent : « traitement du signal ». Alors commençons par le plus simple : c’est quoi, un son ?
Patrick Flandrin : Une précision d’abord. Le traitement du signal, c’est quelque chose qui se situe à l’intersection des mathématiques, de la physique et de l’informatique, et qui s’intéresse à des objets de la nature — à la fois pour les modéliser et pour les traiter, en particulier dans des cadres numériques. C’est vrai dans des tas de domaines, et c’est vrai en particulier pour l’acoustique.
Un son, c’est essentiellement une vibration. Une vibration engendrée par des cordes vocales lorsqu’il s’agit de la voix, par une corde frottée pour un violon, par une corde frappée pour un piano. C’est une vibration de l’air qui se propage, atteint notre oreille et fait vibrer le tympan. Nous récupérons donc la vibration physique à la hauteur du tympan, et elle est ensuite transmise aux couches supérieures du cerveau pour être analysée, interprétée et perçue.
Étienne Ghys : Quand j’entends un son et que je dis « ça, c’est un do » ou « ça, c’est un sol », qu’est-ce que ça veut dire ?
Patrick Flandrin : Quand on parle de vibration, on lui associe une notion de fréquence. La fréquence, c’est une mesure du nombre de fois qu’une quantité oscille dans une durée déterminée.
Par exemple, le la du diapason, le la classique, c’est un la 440 : il y a 440 oscillations par seconde. Le la situé une octave au-dessus vibrera deux fois plus vite, à 880 ; celui du dessous sera à 220.
Étienne Ghys : Qu’est-ce qui explique que si j’entends un la 440 et un la 880 ensemble, j’ai l’impression d’un son harmonieux ?
Patrick Flandrin : Quand des ondes se superposent, elles le font de différentes façons : constructives ou destructives.
Quand les rapports de fréquences sont des rapports entiers, on ajoute des oscillations de même nature, qui arrivent d’une certaine manière en cohérence les unes avec les autres. Une partie de l’harmonie vient effectivement de là.
En revanche, si l’on a des sons qui n’ont rien à voir, leurs interférences induisent des structures à la fois constructives et destructives, qui peuvent être perçues comme moins harmonieuses — elles donnent une forme de rugosité plus grande, ou moins de structure au son lui-même.
Étienne Ghys : Un do chanté par moi, par toi, ou joué au violon, ce sont trois do. Qu’ont-ils en commun, et qu’ont-ils de différent ?
Patrick Flandrin : Ce qu’ils ont en commun, c’est une fréquence fondamentale : la fréquence de base qui définit le son. Mais cette fréquence n’est pas pure, comme le serait celle du diapason : elle porte des harmoniques, c’est-à-dire des fréquences plus grandes dans des rapports entiers, et avec des proportions différentes.
C’est peut-être plus facile à voir avec un signal de parole. Quand on parle, il y a la fréquence fondamentale — plus grave ou plus aiguë selon les personnes — qui vient de la vibration des cordes vocales. Cette vibration est ensuite transmise au monde extérieur via la trachée, la bouche, le nez. C’est un système qui opère une forme de filtrage : il garde certaines caractéristiques, en déforme d’autres, en rejette certaines.
Ces fréquences privilégiées sont représentatives à la fois du son lui-même et du locuteur. Le filtrage opéré par les cavités buccale et nasale correspond à des résonances ou des antirésonances. Pour les voyelles, il existe ce qu’on appelle le triangle des voyelles : un A, un O, un I, un U se caractérisent par des groupes de fréquences privilégiées qu’on appelle des formants.
Étienne Ghys : Comment détermine-t-on ces harmoniques ? Et ça veut dire quoi, un son pur ?
Patrick Flandrin : Un son pur, mathématiquement, c’est une sinusoïde. Une sinusoïde éternelle, qui ne finit jamais.
Étienne Ghys : En tant que mathématicien, je me suis toujours demandé ce que cette définition très mathématique avait comme réalité physique.
Patrick Flandrin : La correspondance est bien physique. Si l’on reprend le diapason et qu’on le fait vibrer, il est conçu de telle sorte qu’une seule vibration lui soit associée — et cette vibration dure très, très longtemps. Pas infiniment, évidemment. Ce qu’on a fait mathématiquement, c’est une idéalisation de ces objets, pour pouvoir les caractériser de manière beaucoup plus pure.
Étienne Ghys : Donc un diapason, sur un oscilloscope, donne vraiment une sinusoïde presque parfaite. Et quand on entend quelqu’un chanter, on voit en première approximation une sinusoïde à laquelle s’ajoutent d’autres fréquences.
Patrick Flandrin : Il y en a beaucoup d’autres. Si l’on revient à la voix, on peut la voir comme l’ensemble d’une source — la vibration des cordes vocales — et d’un système qui filtre, avec ses résonances et ses antirésonances.
Au niveau des cordes vocales, dire qu’il y a une fréquence fondamentale signifie qu’il y a une périodicité d’un motif d’excitation — et ce motif n’est pas une sinusoïde, c’est quelque chose de plus compliqué.
Comment ça fonctionne ? De l’air est poussé par les poumons. Les cordes vocales sont un muscle a priori fermé. Quand la pression est suffisante, les deux lèvres s’écartent : il y a une échappée d’air. Mécaniquement, un phénomène de reprise élastique referme le système, jusqu’à ce que la pression le rouvre. Il y a donc une périodicité, mais ce sont plutôt des bouffées périodiques que des sinusoïdes.
Et les bouffées périodiques, cela peut se représenter comme une superposition de sinusoïdes. C’est Fourier. C’est un tour de force mathématique, quand même : dès qu’on a un phénomène périodique, même si cette périodicité ne ressemble pas à une sinusoïde, elle peut se représenter comme une somme d’un nombre suffisamment grand de sinusoïdes.
Fourier a un sens physique
Étienne Ghys : Tu es en train de me dire que la décomposition de Fourier, que je connais depuis longtemps, n’est pas seulement une propriété mathématique : elle a un sens physique.
Patrick Flandrin : Oui. On retrouve effectivement dans ce qu’on appelle le spectre — l’ensemble de toutes les fréquences qui composent l’onde sonore — le fondamental et toutes ses harmoniques, dont on a besoin pour reconstituer, en les superposant, le phénomène périodique initial.
Ensuite, cette entrée passe dans un filtre. Exactement comme lorsqu’on souffle dans une bouteille vide : on entend un son particulier, lié à une fréquence de résonance qui dépend de la forme et du volume de l’objet. Ici, l’objet, c’est la bouche et le nez.
Et c’est intéressant, parce qu’avec deux possibilités de passage du son — par la bouche et par le nez — on crée non seulement des fréquences de résonance, mais aussi des antirésonances, qui éteignent certaines fréquences par effet d’interférence entre les deux systèmes. C’est pour cela qu’on a des sons nasaux, où le canal du nez est ouvert, et d’autres qui ne le sont pas.
Étienne Ghys : Je résume pour vérifier que j’ai bien compris. Les cordes vocales émettent une vibration périodique, mais non sinusoïdale, qui dépend de leur géométrie. Ce son arrive dans la bouche — et selon qu’on a les lèvres comme ceci ou comme cela, selon qu’il passe aussi par le nez, des résonances se créent. Ce qui sort finalement de ma bouche est une modification du son initial, qui garde sa fréquence propre et ses harmoniques.
