L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux liens entre le son, la musique et les mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Peut-on mesurer la fréquence d’un son avec un simple filet d’eau ? Tadashi Tokieda raconte à Étienne Ghys une expérience née dans sa salle de bain, alors qu’il chantait avec son fils.
À partir de la brisure d’un filet d’eau en gouttes, ils explorent la tension superficielle, la gravité, les vibrations et la manière dont une expérience très simple peut devenir un véritable problème de physique.
Étienne Ghys : Tadashi, tu es japonais, tu parles le français aussi bien que moi, mais aussi le japonais, l’anglais et de nombreuses autres langues. Tu as commencé ta carrière comme artiste au Japon, tu es venu passer le bac en France, tu as fait un doctorat à Princeton, tu es passé par Cambridge…
Tadashi Tokieda : Entre les deux, j’ai eu une carrière en philologie.
Étienne Ghys : Bref, tu es quelqu’un d’extrêmement complet. Tu es aujourd’hui professeur à Stanford, et tu t’es spécialisé dans un créneau particulier : la diffusion des mathématiques et de la physique, avec une manière tout à fait personnelle de présenter les choses. Tu t’appuies sur des expériences, sur des jouets — tes conférences sont des spectacles. J’aimerais que tu choisisses un phénomène sonore.
Tadashi Tokieda : Notre fils est né, il s’appelle Tomo, il a maintenant cinq ans. Depuis sa naissance, je crois que tous les soirs de sa vie je lui ai donné son bain — c’est un grand plaisir pour moi, je ne laisserais cela à personne. Je suis japonais : le bain, c’est sacré, c’est joyeux.
Et un soir, nous avons découvert le phénomène suivant. Ouvrez un robinet et laissez tomber un filet d’eau, très mince mais continu. Comme le filet s’accélère et s’amincit, quelque part dans l’air il va se briser en gouttes, se briser en perles. C’est une instabilité bien connue, qui date de Rayleigh et Plateau.
Étienne Ghys : La partie supérieure, celle qui sort du robinet, est un filet. Puis à un moment précis, le filet se casse et devient des gouttes.
Tadashi Tokieda : Oui, une suite de gouttes qui tombent. On a tous vu ça. Disons que cette brisure se passe à une certaine hauteur, mesurée depuis le sol. Appelons-la H. Un jour que je donnais le bain à Tomo, il s’est mis à chanter devant le filet d’eau. Et on a vu que cette hauteur remontait immédiatement : la brisure se passait un peu plus haut qu’avant.
Étienne Ghys : Donc le fait de chanter a cassé le filet plus tôt.
Tadashi Tokieda : Oui. Et tout de suite, j’ai chanté très bas, comme ça — et c’est redescendu. On venait d’inventer un appareil à mesurer la fréquence du son, en chantant devant un filet d’eau.
Étienne Ghys : J’imagine que la fréquence de ton fils est un peu plus élevée que la mienne.
Tadashi Tokieda : Exactement. Quand on chante, la vibration est transmise — par l’air, notamment — au filet d’eau. Et lorsque ça vibre, ça déstabilise un peu le filet, la tension superficielle travaille un peu mieux, et le filet se brise plus facilement. Selon la fréquence, les vibrations sont différentes, et ça fait monter ou descendre la hauteur. C’est très net. L’expérience est assez délicate, mais si on la fait bien, on voit très bien la montée et la descente. Entre Tomo et moi, ça faisait une différence de plusieurs centimètres.
Étienne Ghys : Donne-moi quelques ordres de grandeur.
Tadashi Tokieda : Chez nous, entre le robinet et le sol, il y a peut-être deux tiers de mètre. Et on avait laissé couler très, très fin, de sorte que le filet soit continu mais ne tombe pas jusqu’au sol : il se brise au milieu. On chante juste là, devant ce fameux H, à la hauteur où ça se brise. Et ça remonte ou descend de plusieurs centimètres. Pas de plusieurs mètres.
Étienne Ghys : Cette hauteur dépend aussi du débit, j’imagine.
Tadashi Tokieda : Le débit doit être vraiment petit, mais assez grand pour que ce soit un filet. Et je précise : quand j’ai dit « plusieurs centimètres », « plusieurs » est un terme technique. Vous saviez ça ? « Plusieurs », ça veut dire un demi-ordre de grandeur. Quand on dit « beaucoup plus grand », on entend dix fois plus grand ; « beaucoup plus petit », dix fois plus petit. Mais « plusieurs fois », ça veut dire racine de dix, c’est-à-dire à peu près trois. Donc plusieurs centimètres, ça veut dire trois centimètres, peut-être quatre.
Étienne Ghys : Deux questions, maintenant. Qu’as-tu expliqué à ton fils ? Et as-tu fait ensuite des expériences plus précises ?
Tadashi Tokieda : Il avait trois ans à l’époque. Il a vu lui aussi que ça montait, que ça descendait, c’était marrant — de façon subtile, mais perceptible. On a d’abord joué ensemble : est-ce que tu peux le faire monter mieux que moi ? Toi, tu ne sais pas le faire descendre, mais papa peut. C’était très joyeux, il s’est beaucoup amusé. Et il a commencé à demander : pourquoi ça descend quand papa chante, et ça remonte quand moi je chante ? Petit à petit, je lui ai expliqué — dans un langage un peu plus doux — que c’est parce qu’il fait vibrer quelque chose, et que c’est comme ça qu’on entend. Mais plus important encore, on a essayé une autre expérience. On avait à côté de nous une bassine en plastique. On l’a mise à l’envers, sous les gouttes. Et ça fait « tam, tam, tam » sur la bassine — un tam-tam dont le son dépend, bien sûr, des écarts entre les gouttes.
Alors on s’est mis à chanter devant le filet. Et assez vite, le tam-tam s’est accordé avec notre voix. Parce que ce qui brise le filet en gouttes, c’est notre voix : c’est elle qui déstabilise. Le rythme de chute des gouttes est donc décidé un peu par notre voix — et c’est exactement ce rythme qui décide le son du tam-tam.
Étienne Ghys : Tu dis donc deux choses : quand on chante, le filet se brise à un endroit différent, et la distance qui sépare les gouttes change également.
Tadashi Tokieda : Les gouttes successives s’accélèrent, et celle qui est partie le plus tôt a davantage de vitesse, parce qu’elle a eu plus de temps pour s’accélérer. Les gouttes s’écartent donc de plus en plus. Si on brise le filet plus tôt, les écarts deviennent plus importants. Et si ça se brise très bas, les gouttes tombent presque ensemble, sans écart.
Le tam-tam s’accorde alors avec notre voix — et il se passe beaucoup de choses, parce que le tam-tam lui-même émet un son, qui influe à son tour sur la brisure. Il y a un circuit qui commence. C’était vraiment excitant.
Des expériences à l’improviste
Étienne Ghys : As-tu essayé, par la suite, de vérifier tout cela en laboratoire ?
Tadashi Tokieda : J’ai plusieurs métiers. Le métier lucratif, c’est d’être professeur à temps plein à Stanford. Mais mon vrai métier à temps vraiment plein, c’est d’être papa. Et à côté, je fais un peu de physique — de temps en temps, comme je sors la poubelle. Je n’ai donc pas vraiment le temps, pour l’instant, de monter des expériences de laboratoire systématiques. En revanche, je peux faire des expériences de pensée en me promenant, ou des expériences sur la table, à la maison, un peu à l’improviste. Ça, je peux le faire en cinq minutes, et j’apprends quelque chose.
Par la suite, au dos d’une enveloppe comme on dit souvent, j’ai compris à peu près ce qui se passe.
Pourquoi le filet se brise
Étienne Ghys : Explique-moi d’abord le phénomène classique de cette brisure.
Tadashi Tokieda : Imaginez un filet qui tombe. Il s’accélère. Mais comme le volume doit être conservé — l’eau n’est pas compressible — si l’eau passe plus vite à une certaine hauteur, il faut qu’elle passe plus mince : par unité de temps, il faut que la même quantité passe. Plus on descend, plus le filet devient fin. Or lorsqu’il devient fin, la tension superficielle travaille davantage, relativement parlant. Il y a toujours la même tension superficielle : chaque fois que vous avez une surface séparant un liquide de l’air, il y a une force par unité de longueur qui essaie de réduire la surface. C’est parce que les molécules s’attirent les unes les autres.
Étienne Ghys : Une espèce de caoutchouc.
Tadashi Tokieda : Exactement. C’est pour ça que si vous laissez tomber une toute petite goutte d’eau sur une table bien lisse, en verre par exemple, l’eau ne s’étale pas complètement : elle se met en rond.
Et c’est très joli. Une minuscule goutte se referme, elle est ronde. Mais si vous augmentez la quantité d’eau, elle s’affale et s’étale, comme on le voit souvent. Pourquoi ? Parce que si vous êtes très grand, c’est la pesanteur qui l’emporte : la tension superficielle ne peut pas gagner contre elle. Alors que si vous êtes très petit, c’est la tension superficielle qui gagne. Pourquoi ? Parce que selon votre taille, c’est soit le volume qui l’emporte sur l’aire, soit l’aire sur le volume. Le volume se comporte comme le cube de votre taille, l’aire comme le carré. Quand la taille est très petite, le carré l’emporte ; quand elle est grande, c’est le cube.
La chute libre efface la pesanteur
Tadashi Tokieda : Or voilà ce qui est très joli avec le filet d’eau qui tombe. Il est en chute libre, donc soumis à la pesanteur. Mais Einstein nous a appris qu’en chute libre, c’est comme si on avait éliminé la pesanteur. Donc il n’y a plus de pesanteur : il n’y a que la tension superficielle. Et la tension superficielle l’emporte. C’est à ce moment-là qu’elle brise le filet en gouttes.
Chanter juste, chanter faux
Étienne Ghys : Dernière question : dans quelle langue parles-tu avec ton fils ?
Tadashi Tokieda : Exclusivement en japonais. Je suis très attaché à la diversité linguistique, et j’aimerais aussi, dans ma vieillesse, pouvoir parler ma langue maternelle avec mon fils. Par ailleurs, il est exposé à beaucoup d’autres langues, notamment l’anglais, qui est notre environnement.
Étienne Ghys : Et si on chante faux, ou si on chante bien ?
Tadashi Tokieda : C’est une question moins simple qu’il n’y paraît. À la même hauteur de son, une flûte donnerait un résultat différent d’un piccolo, et une clarinette encore différent — parce que certains sons sont purs et d’autres sont des mélanges de sons plus élémentaires. C’est ce qu’on appelle l’analyse de Fourier.
Je peux concevoir que, selon le mélange, le filet réagisse différemment. Il faut que je retourne dans la baignoire pour faire l’expérience.
Étienne Ghys : D’autant que le chant n’est pas un son continu.
Tadashi Tokieda : Pour une expérience pure, qui isole le phénomène en question, il vaudra mieux fredonner.
Étienne Ghys : Merci beaucoup, Tadashi.
