L’Académie des sciences consacre une série de podcasts, en partenariat avec Canal Académies, aux liens entre le son, la musique et les mathématiques. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels. Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Le passage du son analogique au son numérique a transformé notre manière d’enregistrer, de synthétiser et d’analyser la musique. Avec Yves Meyer, prix Abel, Étienne Ghys revient sur cette révolution.
De Jean-Claude Risset aux ondelettes, de Fourier aux ondes gravitationnelles, ils discutent de ce que le numérique permet de décrire — mais aussi de l’imperfection qui donne au son sa dimension sensible et émotionnelle.
Étienne Ghys : Yves, tu es mathématicien, tu as reçu le prix Abel il y a quelques années, et tu es très connu pour ce qu’on appelle les ondelettes. J’aimerais qu’on parle du son. Pour commencer : qu’est-ce que ça évoque pour toi, une note de musique ?
Yves Meyer : C’est un très beau thème. J’ai été fasciné par les problèmes du son grâce à un ami, Jean-Claude Risset, qui était à la fois un excellent musicien, un compositeur et un physicien — et l’un de mes camarades de l’École normale supérieure.
Il était très intéressé par l’interface entre le son physique et le son numérique. Il a travaillé à l’Ircam, dans les années 1970, en collaboration avec Pierre Boulez.
Étienne Ghys : À l’époque, comment enregistrait-on le son ?
Yves Meyer : Sous forme analogique, avec des bandes enregistreuses. Le problème était ensuite l’interface analogique-numérique. Pierre Boulez était complètement passionné par cette interface. Il voulait comprendre comment un son numérique, le plus parfait possible, pouvait remplacer un son analogique, être aussi beau — et où était la différence.
Il s’intéressait par exemple à la synthèse du son à partir d’une écriture numérique, c’est-à-dire à partir d’une simple suite de symboles. Il y a eu une expérience à laquelle j’ai assisté : synthétiser le grand air de la Reine de la nuit, de La Flûte enchantée de Mozart, sous forme purement numérique — et voir où était la différence avec l’enregistrement d’une grande interprète.
C’était passionnant, parce qu’on s’est aperçu qu’il manquait quelque chose. On a compris qu’il y avait une composante aléatoire dans le son d’une soprano — et que le son numérique était trop parfait, d’une pureté qui ne véhiculait aucune émotion.
Jean-Claude Risset a travaillé, par exemple, sur le début du son de la trompette : cette phase transitoire qui précède l’émission de la note. Ces moments où le son se cherche, s’établit, sont extrêmement importants — selon lui — pour que le son soit charnel, c’est-à-dire porteur d’émotion.
Étienne Ghys : Tu viens d’employer deux mots importants : émotion et aléatoire.
Yves Meyer : Ce qui est vrai, c’est que le son doit être imparfait pour véhiculer une émotion.
Une image très simple : un peintre qui représente le bord d’une table. S’il utilise une règle, ça paraîtra moins vrai que s’il le dessine au pinceau, avec certaines incertitudes — tout simplement parce que la vision d’une ligne droite n’est pas exactement une ligne droite.
Étienne Ghys : Cela veut-il dire qu’en ajoutant un tout petit peu d’aléa à un son parfait, l’ordinateur pourrait obtenir quelque chose de l’ordre de l’émotion ?
Yves Meyer : La règle est sans doute plus subtile. Je ne connais pas les règles exactes, mais toutes ces recherches ont été passionnantes, et elles ont été menées bien avant que je m’intéresse au son numérique.
Étienne Ghys : Je te coupe une seconde, car les gens qui nous lisent ne savent probablement pas ce qu’est une ondelette.
Yves Meyer : Il en existe d’innombrables familles. L’ondelette, c’est une variante de l’analyse de Fourier.
L’analyse de Fourier correspond à la description la plus habituelle du son — la corde vibrante, la façon dont on décrit un son par une fréquence. C’est une analyse basée uniquement sur les fréquences, et elle correspond aux sons purs, dont la fréquence est parfaitement définie.
Étienne Ghys : Ai-je raison de dire qu’un son pur, à la fréquence parfaitement définie, est périodique dans le temps, qu’il ne commence jamais et ne finit jamais ? Alors que dans la vie de tous les jours, une note doit bien s’arrêter.
Yves Meyer : C’est ça. La note a une durée déterminée, et surtout une attaque — ce qu’on appelle le doigté pour un pianiste. Il y a toute une variété d’écoles du doigté avec lequel le pianiste attaque la note.
Et cela ne peut pas du tout être analysé par l’analyse de Fourier. Le début de la note, la façon dont elle s’établit et se cherche avant d’atteindre sa fréquence : cette partie transitoire échappe complètement à Fourier. Jean-Claude Risset l’avait bien analysé — sauf qu’on ne disposait pas de méthodes numériques précises pour enregistrer et coder ce doigté.
Étienne Ghys : Et les ondelettes le permettent.
Yves Meyer : Mes ondelettes sont bonnes pour ça. En revanche, elles sont relativement inefficaces ailleurs : elles demandent trop de mémoire pour la partie proprement musicale, où Fourier est meilleure.
Il y a donc eu toute une activité pour chercher un compromis entre mes travaux — menés aussi par d’autres, Grossmann, Morlet, en physique théorique — et l’analyse de Fourier.
La bonne solution n’a pas été trouvée par moi. Elle l’a été par deux équipes distinctes. D’abord Henrique Malvar, un chercheur brésilien qui a ensuite travaillé pour Microsoft — son code est utilisé par Microsoft pour coder la musique. Et un groupe autour d’Ingrid Daubechies, avec Stéphane Jaffard et Jean-Lin Journé, qui a trouvé une autre solution à ce compromis astucieux.
C’est cet algorithme-là qui a été utilisé pour la détection des ondes gravitationnelles — ce qui est vraiment un résultat extraordinaire.
Étienne Ghys : Je crois savoir que tous ces gens ne s’intéressent pas uniquement au son. Ils s’intéressent aussi aux images, aux ondes gravitationnelles — à tout ce qui bouge.
Yves Meyer : C’est ça, parce que le signal gravitationnel est ce qu’on appelle un chirp : un signal modulé en fréquence, comme le cri d’un oiseau. Le sonar de la chauve-souris utilise aussi un chirp. Les signaux modulés en fréquence existent donc dans la nature comme dans le monde scientifique.
L’onde gravitationnelle est émise, selon les calculs de Thibault Damour, par l’effondrement de deux étoiles à neutrons qui gravitent l’une autour de l’autre. À un moment, la fréquence de rotation s’accélère et une étoile tombe sur l’autre. C’est à ce moment, quand la fréquence s’accélère terriblement, qu’une très grande énergie est libérée. Et à cause de cette accélération, l’énergie est transmise sous la forme d’une onde qui s’emballe — la forme d’un chirp.
Étienne Ghys : Quand tu penses à une ondelette, tu penses à un son ou à une image ?
Yves Meyer : Là encore, il y a une grande variété d’ondelettes. Certaines ressemblent à des notes de musique : ce sont celles d’Henrique Malvar. Les miennes, ce sont plutôt les transitoires — le début du son de la trompette, la touche du piano. Des choses mal structurées, non périodiques.
Dans le signal de parole, les transitoires, ce sont les consonnes. Mes ondelettes sont excellentes pour décrire les consonnes ; celles de Malvar sont excellentes pour les voyelles, qui sont voisées et ont une structure musicale. On chante sur les voyelles, pas sur les consonnes.
De sorte qu’une nouvelle analyse du signal de parole devrait comporter une ligne avec les ondelettes de Malvar, et une ligne en dessous pour l’analyse des consonnes. C’est une analyse multicouche.
Étienne Ghys : Penses-tu que les temps sont mûrs pour qu’un compositeur, au lieu d’écrire sur une portée avec des ronds blancs et des ronds noirs, utilise un autre mode d’écriture — en ondelettes ?
Yves Meyer : C’est un problème dont parle Jean-Jacques Rousseau dans ses mémoires. Tout jeune, il a déjà l’idée de numériser la portée musicale. Il s’adresse à un musicien, et Rousseau raconte avec humilité que celui-ci lui démontre immédiatement la bêtise de son approche.
Tout simplement parce que la portée musicale est quelque chose que le musicien voit : il y a un rapport entre l’image et le son qui va être produit. Tandis que dans l’approche numérique proposée par Rousseau, on ne voit pas cela — ce n’est pas tangible, pas visuel, pas émotionnel.
La portée musicale, c’est un dessin qui parle immédiatement au cerveau du musicien. Il voit immédiatement le son qui monte, le son qui descend. Toute forme plus symbolique serait fâcheuse.
Étienne Ghys : Tu as fait une fois une conférence dont le titre me plaisait beaucoup : « Le beau, le vrai et l’utile ». Tu avais un peu pris ce titre à Platon, chez qui c’est « le beau, le vrai et le bien ». Et dans cette histoire d’ondelettes, on voit un peu les trois : le beau, puisque tu parles de musique ; le vrai, puisque tu es mathématicien et qu’il s’agit de théorèmes ; et l’utile, puisque ces techniques ont révolutionné le monde.
Yves Meyer : C’est une méthode très souple, avec des tas de variantes. Rien que cet exemple : à ma grande surprise, la détection des ondes gravitationnelles a utilisé la technique élaborée par Ingrid Daubechies, Jean-Lin Journé et Stéphane Jaffard, alors que la solution de Malvar était plus simple sur le plan algorithmique. Peut-être simplement par hasard : parce que le chercheur qui a écrit le logiciel avait l’article de Daubechies sous les yeux.
Je crois que le succès des ondelettes tient — et c’est ce que pense Ingrid Daubechies — au fait que la boîte à outils s’est tout à coup prodigieusement enrichie. Avant, il n’y avait que Fourier ; maintenant, il y a dix mille autres solutions. Et aucune n’a supplanté toutes les autres. C’est la raison de ce succès.
Le schéma de compression JPEG 2000, développé par Martin Vetterli et son équipe à l’École polytechnique fédérale de Lausanne, est basé sur des ondelettes biorthogonales mises au point par Ingrid Daubechies et Albert Cohen. Ce ne sont pas mes ondelettes à moi : encore une variété différente.
On a donc une sorte de nouvelle langue — ou plutôt un ensemble de langues. Chacun peut bidouiller la construction : on donne une boîte à outils en kit, et chacun fabrique l’instrument dont il a besoin, adapté à ce qu’il veut faire.
Étienne Ghys : Merci beaucoup, Yves. J’aime bien quand tu dis « mes ondelettes à moi ». Et pour terminer : vive le vrai, le beau et l’utile.
