Aujourd’hui, tout semble exponentiel : les prix, les données, les crises
Mais savons-nous vraiment ce que ce mot signifie ?
Le mathématicien Cédric Villani nous éclaire sur la véritable nature de la fonction exponentielle, bien loin de son usage approximatif dans le langage courant.
Pourquoi est-elle si souvent réduite à une simple idée de croissance ? Quelle est
L’histoire de sa filiation dans l’histoire des sciences ? De Malthus, qui redoutait une explosion démographique, au rapport Meadows de 1972 sur les limites de la croissance, dont le premier chapitre s’intitule ‛La fonction exponentielle’, l’intuition de cette notion est « fondamentale » pour comprendre les évolutions du monde.
Étienne Ghys
Je suis avec Cédric Villani, mathématicien, que tout le monde connaît, et dans notre série de podcasts sur des mots qui sont mal employés dans le langage courant, ou qui parfois peuvent agacer, je crois que c'est le mot des scientifiques, quel est le mot que tu as choisi aujourd'hui ?
Cédric Villani
Cher Étienne, je vais pousser ma petite gueulante sur le mot exponentiel.
Étienne Ghys
Je suis content que tu le choisisses parce que moi aussi ça m'énerve. Je t'écoute.
Cédric Villani
Exponentiel, on l'entend un peu partout ici et là, et ça semble être devenu une sorte de synonyme de grand, très grand ou croissant. Un truc qu'on n'arrive pas à se représenter ou qui est effrayant par le fait que ce soit croissant.
Étienne Ghys
Et on dit quelquefois : " si ça continue, ça va devenir exponentiel. "
Cédric Villani
Comme si exponentiel, c'était un truc qui, au début, tu l'ais un peu, puis beaucoup, puis pas, etc. Exponentiel, ça a un sens précis.
Cédric Villani
Exponentiel, ça a été inventé dans un chapitre fascinant de l'histoire des sciences. On peut donner deux filiations à l'exponentiel. D'une part, c'est l'étude des phénomènes de croissance, que ce soit la croissance économique ou la croissance des populations. Et d'autre part, au plan mécanique, une façon de résoudre des problèmes de multiplication, de remplacer des multiplications par des additions. L'exponentiel, on peut l' avoir de plusieurs façons, mais elle a des propriétés remarquables, et magiques. Magiques et super importantes et c'est complètement le dévaluer, le vider de son sens, que de juste dire que c'est quelque chose de très grand.
Étienne Ghys
Dis-nous ce que c'est que l'exponentiel.
Cédric Villani
L'exponentiel, il y a plusieurs façons d'y aboutir, mais c'est un signal, une fonction à X on associe Y, Y est égale à l'exponentiel de X, qui a la propriété extraordinaire que quand X avance d'une quantité fixée, Y est multiplié par une quantité fixée. Autrement dit, si j'ajoute un truc à la variable, ça va multiplier le résultat par une quantité fixée. Et ça, c'est quelque chose d'assez extraordinaire, on peut même dire comment ça peut exister un truc comme ça. De façon très claire, il n'y a qu'un certain profil très particulier de fonctions qui permet de faire ça, c'est les fonctions exponentielles.
Étienne Ghys
Je vais ajouter peut-être que multiplier par une quantité fixée qui n'est pas forcément plus grande que 1, c'est-à-dire que l'exponentiel peut être aussi une décroissance.
Cédric Villani
Elle peut absolument être décroissante. Admettons que ce qu'on ajoute, c'est 1. Donc ce qu'on regarde, c'est un signal qui dépend du temps, mettons que ce soit une mise à jour toutes les heures. Par exemple, un signal exponentiel, c'est un signal qui, chaque heure, sera divisé par deux. Et donc ça, c'est exponentiellement décroissant. Et évidemment, au bout d'une heure, ça sera la moitié, mais au bout de dix heures, ça aurait été genre divisé par mille. Donc l'effet cumulé sera extrêmement petit. Et réciproquement, une exponentielle croissante, admettons que tous les jours, c'est doublé, j'attends, un jour, ça va être multiplié par2, j'attends 10 jours, ça sera multiplié par en gros mille de puissances 10. Il y a deux exercices célèbres associés à l'exponentiel. Premier, c'est celui-là : Dans une mare, il y a des nénuphars qui se multiplient très vite. Et au début, il y a un nénuphar. Et chaque jour, la surface des nénuphars est multipliée par 2 parce qu'ils croissent. Et en 30 jours, la mare est couverte entièrement. Combien il a fallu de temps pour que la moitié de la mare soit couverte ?
Étienne Ghys
Je crois que je connais la réponse, mais bon...
Cédric Villani
Et d'abord, qu'est-ce qui se passe dans le cerveau spontanément ? On voit ça, on se dit 30 jours pour couvrir toute la marre. Donc pour couvrir la moitié de la marre, la moitié de 30 jours, ce sera 15 jours. C'est presque automatiquement la connexion qui se fait dans le cerveau, la linéarité. Mais quand on réfléchit, on se dit que non. Si au bout de 15 jours, il y a une certaine surface qui est couverte, le 16e jour, c'est le double de cette surface qui sera couverte. Et donc, ce serait la mare couverte entièrement. Donc en vrai, la réponse à ma question, c'est 29 jours. Si en 30 jours, toute la marre est couverte, ça veut dire qu'en 29 jours, la moitié de la marre a été couverte. Quand on revoit l'énoncé, on se dit, que si il suffit d'un jour pour doubler, c'est simple, c'est ça. Mais quand on le pose dans la durée, le premier réflexe, c'est assez difficile à imaginer. Donc ça, c'est la difficulté de comprendre la fonction exponentielle. Fonction exponentielle croissante, au début, ça croit de façon raisonnée, compréhensible, mais sur le long terme, ça croit d'une façon qui est juste incompréhensible, inarrêtable. Donc, ça commence d'une façon apparemment apprivoisée, et ensuite, ça s'emballe. C'est ça, l'exponentielle.
Étienne Ghys
Et tu nous avais parlé d'une deuxième histoire ?
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