L’Académie des sciences lance sa première série de podcasts en partenariat avec Canal Académies. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels : « J’aime parler de science et donner la parole à ceux qui la font, en France ou ailleurs, mais aussi à ceux qui s’y intéressent, qui l’utilisent ou qui travaillent avec des scientifiques. Les thèmes seront choisis au gré de mes rencontres, de l’actualité, des questions que l’on me pose, des échanges et des conférences auxquelles j’assiste, de ce qui pique ma curiosité. » Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
Entretien avec Cédric Villani, mathématicien, mené par Étienne Ghys
« Exponentiel » est devenu un mot passe-partout. Une croissance très rapide, un phénomène impressionnant ou simplement quelque chose de « très grand » serait désormais exponentiel. Mais, en mathématiques, le terme possède un sens beaucoup plus précis. Étienne Ghys échange avec Cédric Villani pour comprendre ce qu’est réellement une croissance exponentielle, pourquoi elle est si difficile à appréhender intuitivement et ce que l’usage courant du mot fait perdre de sa signification.
Étienne Ghys : Je suis avec Cédric Villani, mathématicien que tout le monde connaît, et dans notre série de podcasts sur des mots qui sont mal employés dans le langage courant, ou qui parfois peuvent agacer les scientifiques, quel est le mot que tu as choisi aujourd’hui ?
Cédric Villani : Cher Étienne, je vais pousser ma petite gueulante sur le mot « exponentiel ».
Étienne Ghys : Je suis content que tu le choisisses parce que moi aussi, ça m’énerve. Je t’écoute.
Cédric Villani : « Exponentiel », on l’entend un peu partout et ça semble être devenu une sorte de synonyme de « grand », « très grand » ou « croissant ». Quelque chose qu’on n’arrive pas à se représenter ou qui est effrayant parce que ça croît.
Étienne Ghys : Et on dit quelquefois : « Si ça continue, ça va devenir exponentiel. »
Cédric Villani : Comme si « exponentiel », c’était quelque chose qui, au début, augmente un peu, puis beaucoup, etc. Or, exponentiel a un sens précis.
Cela a été inventé dans un chapitre fascinant de l’histoire des sciences. On peut donner deux filiations à l’exponentielle. D’une part, l’étude des phénomènes de croissance, que ce soit la croissance économique ou celle des populations. Et d’autre part, sur le plan mécanique, une façon de résoudre des problèmes de multiplication en remplaçant des multiplications par des additions. L’exponentielle peut être abordée de plusieurs façons, mais elle possède des propriétés remarquables, presque magiques. C’est complètement la dévaluer, la vider de son sens, que de dire simplement que c’est quelque chose de très grand.
Étienne Ghys : Dis-nous ce qu’est l’exponentielle.
Cédric Villani : Il y a plusieurs façons d’y aboutir. C’est une fonction : à X, on associe Y, Y étant l’exponentielle de X, avec cette propriété extraordinaire que, lorsque X avance d’une quantité fixée, Y est multiplié par une quantité fixée. Autrement dit, si j’ajoute quelque chose à la variable, cela multiplie le résultat par une quantité fixe. Il n’existe qu’un profil très particulier de fonctions qui permet cela : les fonctions exponentielles.
Étienne Ghys : Je vais ajouter que cette quantité fixe n’est pas forcément supérieure à 1. L’exponentielle peut donc aussi être une décroissance.
Cédric Villani : Elle peut absolument être décroissante. Imaginons un signal qui dépend du temps et qui, chaque heure, est divisé par deux. C’est exponentiellement décroissant. Au bout d’une heure, il en reste la moitié, mais au bout de dix heures, il a été divisé environ par mille. Réciproquement, pour une exponentielle croissante, imaginons que quelque chose double tous les jours. Après un jour, c’est multiplié par deux ; après dix jours, par environ mille. Il y a deux exercices célèbres associés à l’exponentielle. Le premier est celui des nénuphars. Dans une mare, il y a au départ un nénuphar. Chaque jour, la surface occupée par les nénuphars est multipliée par deux. En 30 jours, la mare est entièrement couverte. Combien de temps a-t-il fallu pour qu’elle soit couverte à moitié ?
Étienne Ghys : Je crois que je connais la réponse, mais bon…
Cédric Villani : Spontanément, le cerveau se dit : 30 jours pour couvrir toute la mare, donc 15 jours pour en couvrir la moitié. C’est presque automatiquement la connexion qui se fait : la linéarité. Mais si la surface double chaque jour et que la mare est entièrement couverte au 30e jour, alors elle était à moitié couverte au 29e jour. C’est toute la difficulté de la fonction exponentielle. Une exponentielle croissante commence de manière apparemment raisonnable et compréhensible, mais, sur le long terme, elle croît d’une façon qui devient difficile à concevoir. Elle commence de manière apprivoisée, puis elle s’emballe. C’est ça, l’exponentielle.
Étienne Ghys : Et tu nous avais parlé d’une deuxième histoire.
Cédric Villani : La deuxième histoire est celle de l’échiquier. Un sage accomplit quelque chose de merveilleux pour son souverain et celui-ci lui demande quelle récompense il souhaite. Le sage lui répond qu’il se contentera de peu : un grain de riz sur la première case d’un échiquier, deux sur la deuxième, quatre sur la troisième, huit sur la quatrième, et ainsi de suite jusqu’à la dernière case. On se dit qu’il est modeste. Mais, une fois arrivé à la 64e case, le nombre de grains de riz devient absolument inimaginable. C’est une autre illustration de cette croissance exponentielle.
Étienne Ghys : On peut en donner une autre. Le nombre d’humains vivants aujourd’hui est comparable au nombre d’humains qui sont morts.
Cédric Villani : Absolument ! C’est une marque de la croissance exponentielle, mais une croissance qui est transitoire. La population mondiale a connu un régime de croissance à peu près exponentielle, mais elle finira par atteindre un pic, puis un autre régime s’installera.
Étienne Ghys : Et maintenant, j’ai encore une référence à te proposer : Malthus.
Cédric Villani : Malthus avait en tête que la croissance humaine serait exponentielle. Beaucoup d’auteurs ont travaillé sur ces croissances de population. Il y a aussi le fameux exercice de Fibonacci sur les lapins qui se reproduisent.
Étienne Ghys : Mais Malthus est allé plus loin dans la mesure où il en a tiré des conséquences économiques et même sociétales.
Cédric Villani : Malthus dit en substance : la croissance des ressources matérielles ne peut être que linéaire, tandis que la croissance humaine est exponentielle. Il va donc falloir commencer à limiter la population sur Terre et se demander quelles décisions politiques prendre. Cette idée a été reprise par beaucoup de monde. Elle a notamment alimenté l’eugénisme, très actif dans une partie de l’Occident au XIXe siècle, avec l’idée que certaines classes ou certaines populations auraient davantage le droit moral de se reproduire que d’autres. Quelque chose qui nous paraît aujourd’hui moralement horrible et politiquement impossible à porter. Les questions de limitation globale de la population étaient encore très présentes dans les années 1970. On les retrouve par exemple dans le rapport Meadows du Club de Rome. Il faut replacer cela dans son contexte : la pilule contraceptive venait de se généraliser et les questions de planning familial étaient encore très sensibles. Depuis, on a compris qu’il n’existe pas de meilleur régulateur de la population que le développement, notamment le développement de l’éducation et le développement économique. Le premier chapitre du rapport Meadows s’appelle d’ailleurs « La fonction exponentielle ». Il explique combien il est important de penser en termes exponentiels lorsqu’on est face à des systèmes dynamiques. Il faut comprendre les exponentielles positives, négatives, les rétroactions. Cette intuition est fondamentale pour comprendre les évolutions du monde. On l’a encore vu pendant le Covid avec la propagation des épidémies : ce sont des choses que notre cerveau a beaucoup de mal à concevoir intuitivement.
Étienne Ghys : Est-ce que je peux te raconter une petite anecdote et te demander ce que tu en penses ? Pendant le confinement, je faisais du soutien scolaire par Zoom. J’ai eu l’occasion de travailler avec un brillant élève de première. Nous avons fait des exercices sur l’exponentielle. Dans les programmes scolaires, la fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction égale à sa dérivée et qui vaut 1 en x = 0. Il faisait parfaitement tous les exercices. À la fin, je lui ai demandé : « Quel est le rapport entre l’exponentielle dont on vient de parler et ce qu’on voit sur toutes les télévisions, toutes les radios et tous les journaux à propos du Covid ? » Il ne savait pas. Autrement dit, on a une situation où notre programme scolaire présente une fonction exponentielle totalement déconnectée de tout ce que tu viens de raconter.
Cédric Villani : Tout à l’heure, quand tu m’as demandé la définition de l’exponentielle, j’ai hésité entre différentes définitions possibles. J’ai envisagé une fraction de seconde d’utiliser celle par la dérivée, puis je l’ai rejetée parce qu’elle était trop technique. Et là, tu me rappelles que c’est justement la définition officielle du programme. L’enjeu et la noblesse du métier de professeur, c’est précisément d’arriver à faire la connexion entre toutes les définitions et toutes les façons de voir les choses. C’est important qu’à un moment du cursus, on puisse faire le lien entre cette définition très formelle et les autres façons de comprendre l’exponentielle.
À la fin, elles aboutissent toutes au même objet. Quand on maîtrise un peu les choses, on arrive à passer d’une définition à l’autre.
Les programmes sont la résultante de nombreuses tensions dans l’histoire de notre enseignement mathématique. La France a été une très grande nation mathématique, avec des programmes extrêmement exigeants. Il y a eu des périodes très abstraites, notamment sous l’influence de Bourbaki, et, en permanence, des mouvements contraires demandant de rendre les mathématiques plus concrètes.
