L’Académie des sciences lance sa première série de podcasts en partenariat avec Canal Académies. Au micro, Étienne Ghys, l’un de ses deux secrétaires perpétuels : « J’aime parler de science et donner la parole à ceux qui la font, en France ou ailleurs, mais aussi à ceux qui s’y intéressent, qui l’utilisent ou qui travaillent avec des scientifiques. Les thèmes seront choisis au gré de mes rencontres, de l’actualité, des questions que l’on me pose, des échanges et des conférences auxquelles j’assiste, de ce qui pique ma curiosité. » Cortex Média a retranscrit ces échanges, à lire ci-dessous.
« Je suis d’accord à 1 000 % », « je vais me donner à 1 000 % »… L’expression est devenue courante. Mais, pour Cédric Villani, elle dit aussi quelque chose de notre rapport aux nombres et de la perte progressive du sens des pourcentages.
Avec Étienne Ghys, le mathématicien revient sur ce que signifie réellement 100 %, mais aussi sur l’enseignement des fractions, de la proportionnalité et sur l’importance de pratiquer les mathématiques pour réellement les comprendre.
Étienne Ghys : Je suis au téléphone avec Cédric Villani. Aujourd’hui, dans cette série, nous discutons d’une expression qu’on entend partout dans les médias, à la radio, dans les journaux, etc., et qui agace un peu les mathématiciens parce qu’elle est mal employée. Alors, quelle expression as-tu choisie, Cédric ?
Cédric Villani : J’aimerais bien pousser ma petite gueulante contre l’expression « 1 000 % ».
Étienne Ghys : D’abord, donne-moi un exemple où c’est mal employé.
Cédric Villani : Si tu as une très forte inflation et que les prix sont multipliés par dix ou onze, comme cela s’est vu dans certaines crises, là, on peut effectivement dire qu’il y a eu une augmentation des prix de 1 000 %. Mais ce n’est pas dans ce sens-là qu’on l’entend généralement. C’est quand les gens disent : « Je suis à fond », « je suis complètement d’accord avec toi », « je suis d’accord avec toi à 1 000 % », « je vais me donner à 1 000 % pour ça ». Et ça, ça n’a pas de sens. On a déjà une expression, en termes de pourcentage, pour dire « à fond » : ça s’appelle 100 %. C’est complet. On ne peut pas faire plus. Dès qu’on commence à vouloir le dépasser, on part dans un monde qui peut être poétique, mais qui contribue à dévaloriser la signification très claire de 100 %.
Étienne Ghys : Ça fait penser à ces gens qui disent qu’il y a une probabilité de 150 %.
Cédric Villani : Oui, c’est exactement pareil. 150 % a aussi peu de sens dans ce contexte que 1 000 %. On observe aussi une sorte de dérive. Au début, on disait 200 %, puis 300 %, maintenant les gens disent 1 000 %, voire 10 000 %. Qui sait où cela va s’arrêter ? Cela contribue aussi à dévaloriser le sens des nombres, alors qu’on sait que c’est un problème important.Des jeunes arrivent en sixième sans réussir à identifier 25 % à un quart ou à placer un demi sur une échelle de nombres. Il ne faut pas leur jeter la pierre : ils ne sont ni plus ni moins intelligents que les générations précédentes, mais ils ont été beaucoup moins exposés à cette gymnastique quotidienne qui consiste à faire des conversions entre fractions, nombres décimaux et pourcentages.
Étienne Ghys : J’ai cru comprendre qu’on essayait de changer l’enseignement des fractions. Qu’est-ce que tu en penses ?
Cédric Villani : Ma position est claire : on peut essayer toutes les méthodes qu’on veut, toutes les façons de faire qu’on veut, tant qu’on n’aura pas résolu le problème majeur de l’éducation mathématique et de l’Éducation nationale en général, qui est la crise de vocation et de sens du métier d’enseignant, on n’ira nulle part. Le problème, c’est avant tout d’avoir des enseignants fiers de leur métier, bien payés, auxquels on donne des moyens et de bonnes formations, initiales et continues, et auxquels la société donne les bonnes conditions pour exercer ce métier. Ensuite, la méthode qu’on emploie pour faire ceci ou cela me paraît beaucoup moins importante que le fait d’avoir un corps professoral heureux, fier et doté de moyens.
Étienne Ghys : Que dirais-tu d’un enseignant qui donne comme exercice en classe de troisième : simplifiez 1/7 + 1/5, puis divisez le tout par 3/4 + 7/13 ?
Cédric Villani : Je dirais que ça me rappelle exactement les exercices que j’avais en classe de troisième ! Mon professeur nous donnait des exercices bien costauds. Lorsqu’on a des fractions de fractions, avec des fractions au numérateur et au dénominateur, il faut une certaine discipline pour comprendre et simplifier correctement. Une fois qu’on sait faire l’exercice, on a vraiment compris le concept de fraction. L’exercice paraît compliqué pris isolément. Mais s’il s’inscrit dans une progression où l’on est allé d’exercices simples vers des exercices plus compliqués, avec suffisamment de temps et d’entraînement, cela ne me choque pas.
Étienne Ghys : Moi, je vais t’avouer une de mes grandes faiblesses. Je suis incapable de faire un pourcentage avec une calculatrice et la touche « % ».
Cédric Villani : Je t’avoue que je ne l’utilise jamais non plus. Il y a eu de grandes avancées dans l’histoire des calculatrices, quand on s’est mis à faire les puissances, les extractions de racines carrées et tout ça, mais la touche « % », je suis d’accord avec toi : elle ne sert pas tellement à grand-chose. Je voudrais revenir sur ton histoire d’exercice. Il y a quelque chose en mathématiques sur lequel il faut insister : c’est peut-être la discipline par excellence où, tant qu’on n’a pas fait les exercices, on n’a pas compris. .À tous les niveaux, de l’école primaire jusqu’à la thèse, tant qu’on n’a pas fait la mise en œuvre, on croit avoir compris, mais on n’a pas réellement compris. Il m’est souvent arrivé qu’un exercice me fasse soudain comprendre que je n’avais pas vraiment assimilé le concept. C’est vrai pour les fractions, les fonctions, et beaucoup d’autres choses.
Étienne Ghys : Est-ce que tu ne penses pas que les manuels scolaires vont un peu dans le sens opposé, avec très peu de concepts et une multitude d’exercices qui se ressemblent tous ?
Cédric Villani : C’est vrai qu’ils sont pleins d’exercices. Ils sont aussi, peut-être à la mode de notre époque — je vais passer pour un vieux ronchon — pleins de couleurs et de choses assez tapageuses. Les manuels dont j’ai le souvenir étaient un peu plus austères. Mais, très franchement, peu importe le manuel tant que les professeurs sont à fond et que la relation entre l’élève et le professeur est bonne. Pour moi, c’est beaucoup plus une question humaine qu’une question technique.
Étienne Ghys : Est-ce que tu serais d’accord avec l’affirmation selon laquelle l’enseignement des mathématiques, du CP jusqu’à la terminale, consiste essentiellement à comprendre la linéarité et la proportionnalité ?
Cédric Villani : Je n’irais pas jusque-là. La linéarité et la proportionnalité sont des étapes très importantes et il y a beaucoup de façons de les voir. Autrefois, on parlait de règle de trois. On utilise moins cette expression aujourd’hui, mais la règle de trois, ce n’est rien d’autre que comprendre la proportionnalité. On peut la voir à travers le formalisme des fractions, en posant une équation, ou par une méthode directe comme on le faisait autrefois à l’école primaire. C’est important de voir et revoir un concept sous toutes ses facettes.
Je ne pense pas que les mathématiques se résument à la linéarité et à la proportionnalité, mais c’est un élément majeur.
Étienne Ghys : Et on le voit sous plein d’aspects. Le théorème de Thalès, par exemple, ce n’est finalement que de la proportionnalité.
Cédric Villani : Le théorème de Thalès, c’est de la proportionnalité, mais c’est aussi une manière de se représenter une figure et les relations entre ses différents éléments. Je me souviens qu’en seconde, notre professeur aimait nous faire démontrer la même chose par différents moyens : avec de la géométrie analytique, des équations et des proportionnalités ; avec de la géométrie classique, comme au temps des Grecs ; ou encore avec des barycentres.
Étienne Ghys : Mon professeur était comme le tien, mais il disait : « C’est pour être plus sûr. »
Cédric Villani : Plus sûr d’être arrivé à la preuve, exactement. Même lorsqu’on fait de la recherche au plus haut niveau, on reste parfois inquiet. Quand j’ai travaillé sur mon article concernant l’amortissement de Landau, après avoir vérifié toutes les démonstrations de nombreuses fois, je restais vaguement inquiet qu’une erreur puisse subsister dans une démonstration si longue et compliquée. Quand le rapport de l’expert extérieur est arrivé et qu’il a conclu que tout était correct, j’ai été rassuré. Mais je l’ai été encore davantage lorsque, quelque temps plus tard, notre équipe est arrivée à une autre démonstration du même résultat. Quand deux démonstrations différentes aboutissent au même résultat, là, on peut vraiment être sûr.
Étienne Ghys : Alors, une question quasiment philosophique : est-ce que tu penses qu’une vérité peut avoir deux démonstrations intrinsèquement différentes ?
Cédric Villani : Ma réponse personnelle est oui. Dans une démonstration, il y a une notion de chemin à travers différents concepts. Le chemin, la trajectoire, est important. Il y a une citation d’Aristote que j’aime beaucoup : « Les trois attributs majeurs de la beauté sont la précision, l’ordre et la commensurabilité. » J’aime beaucoup cette idée parce qu’on peut regarder énormément de choses du paysage mathématique à travers ce prisme : précision, ordre et commensurabilité.
Étienne Ghys : Comment peut-on corriger cette erreur de « 1 000 % » ? Comment faire en sorte que les gens ne l’utilisent plus ?
Cédric Villani : Diantre du diantre, si je le savais ! Les expressions échappent à tout le monde et se diffusent partout. La mauvaise façon de faire serait probablement une communication de l’Académie française. Cela ne ferait qu’agacer les gens et ils prendraient un malin plaisir à continuer à l’utiliser. Je pense que c’est plutôt notre responsabilité, à nous mathématiciens, de dire : arrêtez d’utiliser « 1 000 % » à tort et à travers. Non seulement vous trahissez la belle langue mathématique dans son articulation entre pensée claire et concept mathématique, mais vous dévalorisez aussi l’expression. C’est une course sans fin : après 1 000 %, on aura 10 000 %, puis encore davantage. On risque la même évolution qu’avec un adjectif comme « formidable », qui signifiait autrefois quelque chose de terrifiant et qui est progressivement devenu synonyme de « chouette ».
Étienne Ghys : Donc, c’est notre rôle, à nous mathématiciens, de tenir ce genre de langage.
Cédric Villani : Mathématiciens et intellos.
Étienne Ghys : Est-ce que pourcentage et musique t’évoquent quelque chose ?
Cédric Villani : Là, tout de suite, la chanson des Beatles Taxman. C’est une chanson anti-impôts qui parle de tout ce qui permet de taxer, taxer, taxer.
