Entretien avec Bertrand Maury, mathématicien, mené par Étienne Ghys
Prévoir la météo, comprendre un embouteillage, reproduire le mouvement d’une foule ou étudier la circulation de l’air : derrière ces phénomènes se cachent souvent des modèles mathématiques. Mais un modèle est-il une copie du réel ? Peut-il vraiment prédire ce qui va se passer ?
Étienne Ghys reçoit le mathématicien Bertrand Maury pour comprendre ce que signifie « modéliser » et comment les mathématiques construisent un pont entre leurs objets abstraits et le monde réel.
Étienne Ghys : Je suis avec Bertrand Maury, mathématicien qu’on peut presque qualifier de modélisateur. Ce mot te va ?
Bertrand Maury : Le mot ne me choque pas. Je l’assume volontiers.
Étienne Ghys : Dans cette série de podcasts, on prend un mot qu’on entend un peu partout à la radio ou à la télévision, qu’on lit dans les journaux et que les gens connaissent parfois mal, ou utilisent très mal. Quel est le mot dont on va parler aujourd’hui ?
Bertrand Maury : Modélisation.
Étienne Ghys : Est-ce que tu pourrais nous tenter une première définition approximative ? Qu’est-ce que ça veut dire ?
Bertrand Maury : En premier lieu, je dirais que la modélisation est à l’extérieur des mathématiques, mais qu’elle permet de faire le pont entre les mathématiques et le monde extérieur.
Étienne Ghys : Les mathématiques, c’est différent de la physique.
Bertrand Maury : Tout à fait. On pourrait même dire que les mathématiques ne sont pas exactement une science au même sens que la physique. Elles ne doivent rien au réel, mais leurs concepts et leurs équations permettent de raisonner sur la réalité extérieure. Pour moi, la modélisation est précisément ce qui fait le pont entre les deux.
On peut modéliser le comportement des fluides, des grains, des solides, mais aussi des choses plus inhabituelles : le comportement des voitures, des foules, la propagation d’opinions, etc.
On observe une réalité et on cherche à identifier des mécanismes élémentaires que l’on peut traduire mathématiquement.
Étienne Ghys : Mais tu n’as pas la prétention d’expliquer le comportement des humains, par exemple ?
Bertrand Maury : Je n’ai pas cette prétention au sens absolu, mais je pense qu’il peut être fécond d’essayer de mathématiser une partie du comportement.
Je me suis beaucoup intéressé ces dernières années aux comportements de foule et, plus généralement, aux êtres sociaux, notamment à travers la propagation d’opinions.
Prenons des voitures sur une route. On va essayer de mathématiser ce que l’on observe. On identifie des variables, par exemple la position de chaque voiture au cours du temps, puis on cherche à écrire des mécanismes susceptibles d’expliquer les phénomènes observés.
Étienne Ghys : Tu veux comprendre ou tu veux prédire ?
Bertrand Maury : Les deux existent, mais je suis davantage du côté de la compréhension. Prédire est très difficile. La question « est-ce qu’un modèle est prédictif ? » est très délicate. Il s’agit d’abord de comprendre qualitativement les mécanismes. Par exemple, si deux voitures se suivent, on peut écrire que la vitesse de celle de derrière dépend de sa distance à celle qui la précède.
Étienne Ghys : Tu aimerais comprendre les embouteillages ?
Bertrand Maury : Typiquement, oui. On veut comprendre l’émergence de phénomènes macroscopiques, observés à grande échelle, à partir de mécanismes décrits au niveau de chaque véhicule. On part du fonctionnement élémentaire des entités et on écrit des équations. On peut obtenir un système qui décrit la position de mille voitures sur une route.
Ensuite, en tant que mathématiciens, on s’intéresse à des questions comme l’existence et l’unicité des solutions. Si on connaît la situation de départ, est-ce que le système possède une solution bien définie ?
Étienne Ghys : Tu ne cherches donc pas nécessairement à résoudre explicitement toutes ces équations, mais plutôt à avoir une idée globale du comportement des solutions.
Bertrand Maury : C’est plutôt ça. Un modèle est une vision simplifiée du réel, mais mathématisée proprement. On peut étudier son comportement, éventuellement à l’aide de simulations numériques, et regarder s’il permet de retrouver les phénomènes observés, comme par exemple la circulation en accordéon. Cela peut aussi permettre d’identifier certains paramètres qui rendent ces instabilités plus ou moins importantes.
Étienne Ghys : Est-ce proche de la physique de l’air qui m’entoure ? L’air est constitué d’un nombre immense de molécules qui se déplacent et s’entrechoquent. Il est impossible de connaître le mouvement de chacune, mais les physiciens et les mathématiciens comprennent assez bien le comportement global de l’air.
Bertrand Maury : C’est exactement la même idée. Il serait inutile et impossible de prévoir le mouvement de chaque particule. On simplifie et on considère les choses globalement. On peut ainsi reproduire les grands phénomènes de mécanique des fluides sans connaître la position de chaque molécule.
Étienne Ghys : Est-ce qu’il y a un lien avec les modèles réduits avec lesquels je jouais quand j’étais petit ?
Bertrand Maury : Oui, c’en est une version simplifiée et caricaturale. Une petite voiture, par exemple, conserve certaines caractéristiques principales de la vraie voiture : sa forme, ses quatre roues, etc. C’est une représentation simplifiée de l’objet.
Étienne Ghys : Aujourd’hui, fait-on encore de la modélisation analogique ? Est-ce qu’on utilise encore des souffleries pour tester des ailes d’avion, par exemple ?
Bertrand Maury : Les souffleries ont été en grande partie remplacées par la modélisation mathématique, l’écriture des équations de mécanique des fluides et leur résolution numérique. Cela a donné naissance à un domaine des mathématiques appelé notamment calcul scientifique ou analyse numérique. Les souffleries coûtaient très cher et ont souvent été remplacées par de gros ordinateurs.
Étienne Ghys : Qui coûtent très cher également.
Bertrand Maury : Et qui consomment aussi de l’énergie ! Mais cela permet de travailler plus rapidement sur des prototypes virtuels que l’on n’est pas obligé de construire.
Les expériences physiques restent utiles dans certains domaines. Si on s’intéresse aux avalanches ou aux éboulements de terrain, par exemple, on peut reproduire en laboratoire de petites avalanches et observer beaucoup plus précisément ce qui se passe. Cela n’est pas contradictoire avec les modèles mathématiques : les deux démarches se complètent. Dans des domaines comme la mécanique des fluides, les modèles physiques sont bien établis. Pour les sciences sociales, en revanche, les lois élémentaires décrivant les individus sont beaucoup moins claires.
Étienne Ghys : Peut-être même qu’elles n’existent pas.
Bertrand Maury : Peut-être, ou elles n’existent que de façon très imparfaite. On va alors faire une sorte de caricature du comportement. Par exemple, assimiler un conducteur automobile à un robot qui réagit à ce qu’il voit selon des règles assez rudimentaires. Si ce modèle très simplifié arrive malgré tout à reproduire certains phénomènes observés, on peut penser qu’on a capturé quelque chose d’important dans le mécanisme.
Étienne Ghys : Alors, pour que je comprenne bien : tu es mathématicien, tu n’es absolument pas physicien.
Bertrand Maury : Non.
Étienne Ghys : Tu n’es pas expérimentateur. Tu fais des expériences de pensée, en quelque sorte.
Bertrand Maury : Oui, plutôt des expériences de pensée, même si j’interagis énormément avec des scientifiques d’autres disciplines. Dans les sciences sociales, il y a aussi un avantage amusant : on est soi-même l’objet qu’on cherche à modéliser. Si je suis conducteur, je peux m’amuser à modéliser mon propre comportement, imaginer mille copies de moi-même sur une route et regarder si le comportement du système ressemble à ce qu’on observe réellement. Et ça ne marche pas si mal !
Étienne Ghys : Tu es donc un conducteur normal.
Bertrand Maury : Je suis un conducteur normal, tout à fait. [Rires]
Il y a quelque chose de fécond dans les allers-retours entre la réalité et les mathématiques. On part d’une démarche de modélisation assez informelle, tâtonnante, puis on arrive parfois à un système mathématique propre que l’on peut étudier en tant que tel. Un modèle peut même être mauvais pour représenter la réalité mais très intéressant comme objet mathématique.
Étienne Ghys : On revient donc à la question initiale : quelle confiance accordes-tu à un modèle ?
Bertrand Maury : Cela dépend énormément de la situation. Pour le monde physique, on peut comparer précisément un modèle à des expériences. On peut contrôler les conditions initiales et obtenir des modèles relativement prédictifs. En mécanique des fluides, par exemple, même si on ne décrit pas chaque petit tourbillon ou chaque molécule d’air, les quantités globales peuvent être assez fiables. C’est ce qui permet aujourd’hui d’obtenir des prévisions météorologiques relativement fiables plusieurs jours à l’avance et, avec d’autres modèles, de travailler sur le climat à beaucoup plus long terme.
Étienne Ghys : En revanche, pour les choses de nature sociologique…
Bertrand Maury : Là, la difficulté se trouve dès la construction du modèle. Lorsqu’on modélise des conducteurs, par exemple, on doit leur attribuer des comportements : certains sont plus prudents, d’autres moins, les habitudes peuvent varier, etc. On ne peut donc pas connaître absolument la réalité. Il faut rester à un niveau plus qualitatif.
C’est un peu la même chose pour des phénomènes extrêmement complexes comme la circulation du CO₂ dans une pièce. Les mécanismes fins sont très compliqués, mais ce qu’on observe en moyenne peut finalement être beaucoup plus simple.
Étienne Ghys : Ce qui t’intéresse dans ta profession, c’est donc le fait d’être mathématicien mais aussi d’interagir avec des domaines et des cultures très différents.
Bertrand Maury : Oui. Je suis très attaché à la modélisation elle-même. J’aime cette position entre deux chaises : être à la bordure du monde merveilleux et éthéré des mathématiques, en sortir pour aller chercher des phénomènes dans le réel, essayer de les mathématiser, puis confronter les résultats au réel. C’est une démarche parfois difficile, longue et pas forcément très valorisante académiquement, mais elle est passionnante.
Étienne Ghys : L’autre jour, après une conférence que tu donnais ici, quelqu’un est venu me poser une question. Je te la transmets : est-ce que tu crois que tout est modélisable ?
Bertrand Maury : J’aurais tendance à répondre, d’une certaine manière, oui. Cela ne veut pas dire que tout est prédictible ou qu’on peut mettre toute la réalité dans un ordinateur.
Mais j’ai l’impression que, lorsque l’on s’en donne les moyens, on finit toujours par trouver un concept mathématique — ou par en créer un — qui résonne d’une certaine façon avec la réalité observée. C’est particulièrement spectaculaire en physique. Les objets mathématiques, pourtant abstraits, collent de façon étonnante à la réalité physique.
Étienne Ghys : Donc, en clair, tu es en train de dire, comme Pythagore : « Tout est nombre. »
Bertrand Maury : D’une certaine manière, oui. Ou plutôt : tout est structure. Les mathématiques constituent un univers parallèle qui pourrait exister indépendamment du réel, ce qui fait aussi leur beauté. Mais il existe des correspondances parfois mystérieuses entre cet univers et la réalité.
Étienne Ghys : Quelle belle phrase !
Bertrand Maury : Tu m’avais interdit d’utiliser des mots compliqués, mais j’en utilise quand même un.
Étienne Ghys : Le temps passe rapidement, alors je vais poser la question que je pose à tout le monde : est-ce que tu es musicien ? Est-ce que tu apprécies la musique ?
Bertrand Maury : Oui.
Étienne Ghys : Alors, trouve-moi une musique qui pourrait illustrer ce dont nous venons de parler.
Bertrand Maury : Je fais du piano depuis plus de quarante ans. On essaie souvent de me faire dire qu’il existe un lien naturel entre le goût pour les mathématiques et le goût pour la musique. Mais plus le temps passe, plus je pense que ce qui est intéressant dans la musique est justement ce qui n’est pas mathématique. Cela n’empêche pas de remarquer qu’il existe des structures mathématiques extrêmement fortes dans la musique, notamment chez Bach et dans ses fugues. Mais je dirais que ces fugues sont belles bien qu’elles soient mathématiques, et non parce qu’elles sont mathématiques.
Étienne Ghys : Tu ne m’as toujours pas donné un exemple de musique.
Bertrand Maury : Prenons la première fugue de L’Art de la fugue de Bach. Elle est relativement simple : un seul sujet revient, avec un principe de contrepoint, presque comme un canon généralisé. Il y a quelque chose de très mathématique et, pourtant, la pièce est extrêmement émouvante. C’est cela qui me fascine : Bach réussit à produire une musique très émouvante avec une structure extrêmement formelle.
