Du signe mathématique à l’égalité femmes-hommes, en passant par la Déclaration des droits de l’homme et du citoyen, le concept d’égalité est omniprésent. Mais que signifie-t-il vraiment? Dans ce premier épisode de la saison consacrée aux « mots scientifiques », Étienne Ghys, secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences, livre une chronique personnelle et éclaire, à travers l’exemple des triangles en géométrie, les multiples facettes de cette notion.
Voici la transcription du podcast d’Étienne Ghys
Étienne Ghys
Le 12 février 2025, Hugo Duminil-Copin, mathématicien, fera une conférence à la Sorbonne sur l'égalité. Je ne sais absolument pas ce qu'il va raconter, mais je me suis dit que ce podcast pourrait servir en quelque sorte d'introduction. (a+b)² = a²+ 2ab + b². Couper un gâteau en parts égales. L'égalité, homme-femme. Quel est le sens de ce petit mot anodin égalité, de ce signe égal avec deux petites barres parallèles que nous manions depuis l'école primaire ? Ou plutôt, quels sont ses sens ? La première idée est de consulter un dictionnaire. Celui de l'Académie commence par « semblable soit en nombre, en quantité, soit en nature, en qualité ». Géométrie, figures égales, figures qu'on peut faire coïncider exactement superposables, semblables en nature, en qualité, en intensité, en valeur, droit, en parlant des personnes dont les droits et les devoirs civiques sont les mêmes. Par extension qui n'établit pas de différence, d'inégalité entre les personnes ou les choses. Personne qui a le même mérite, les mêmes droits, le même rang social qu'une ou plusieurs autres. Lorsqu'on consulte un dictionnaire, on est bien sûr amené à utiliser d'autres mots. On voit ici que l'académie utilise les mots semblables, superposables, coïncidés, mêmes, etc. Chacun d'entre eux est à son tour défini dans le dictionnaire en utilisant d'autres mots, qui eux-mêmes sont définis par d'autres. Comme les dictionnaires ne contiennent qu'un nombre fini de mots, il n'y a que deux solutions. Ou bien, en suivant la chaîne des définitions, on trouve un mot qu'on a déjà consulté. Ou bien, certains mots ne sont pas définis dans le dictionnaire. La première solution est largement utilisée dans les dictionnaires. Souvent, ce n'est pas vraiment un problème. Les mathématiciens aiment la précision. Ils ont opté pour la seconde solution. Un certain nombre de symboles primitifs ne sont pas définis. C'est le cas du symbole =. Il va donc falloir comprendre le sens du mot égal à travers des situations où il intervient et faire émerger ce sens. Les premières lignes, les premiers volumes des éléments de mathématiques de Bourbaki décident de ne pas tenter de définir le symbole=. C'est un signe spécifique, nous voilà bien avancés et je suis sûr que la plupart de mes auditeurs préfèrent encore les définitions du dictionnaire qui se mordent la queue, au moins on les comprend. Restons dans le domaine des mathématiques et examinons quelques exemples. Jadis, on disait que deux triangles sont égaux, si en reproduisant l'un sur un papier calque, puis en déplaçant le papier calque, on pouvait le faire coïncider avec le second. Voici par exemple ce qu'on trouve à la page 3 d'un livre célèbre de géométrie élémentaire par Hadamard publié en 1898. Figures égales, une figure quelconque peut être transformée dans une infinité de façon dans l'espace, sans déformation, comme cela a lieu pour les corps solides usuels. On nomme figures égales, deux figures que l'on peut transporter l'une sur l'autre, en un mot deux figures égales, sont une seule et même figure en deux places différentes. On comprend ce que cela veut dire mais des difficultés sérieuses se présentent. Ainsi, il n'y aurait qu'un seul et unique carré d'un mètre de côté et cet unique carré abstrait viendrait s'incarner par ci, par là, dans des positions différentes. Un peu comme si le carré était un individu qui se déplace. Mais que veut dire se déplacer sans déformation ? Si on pousse cette définition un peu loin, on peut dire que tous les points sont égaux car je peux évidemment faire coïncider deux points quelconques en déplaçant l'un sur l'autre. Tous les points égaux, je ne pense pas que cette assertion aurait fait la joie de mes professeurs de maths en collège. D'ailleurs, c'est pour cette raison que la terminologie triangles égaux qui était bien pratique pourtant a été bannie de nos écoles. Le prix a payé est lourd puisqu'il a fallu introduire de nouveaux mots qui ne font pas partie du vocabulaire des élèves. On dit parfois que deux triangles sont isométriques ou encore congruents et on réserve le mot égal pour une situation caricaturale dans laquelle les triangles sont exactement les mêmes. On y gagne en précision mais on y perd en compréhension : qui va demander à ses parents de bien couper le gâteau d'anniversaire en parts isométriques. À l'extérieur de l'école et du cours de maths, le mot égal reprend sa place car on le comprend bien, il n'y a pas d'ambiguïté et c'est bien là tout ce qu'on demande à un mot. Un autre exemple. Est-ce que je peux dire que 3+ 2, c'est la même chose que 1+1+3 ? Pas vraiment car pour écrire 3+2, je tape trois fois sur mon clavier alors que je dois taper cinq fois pour écrire 1+1+ 3. Ce qu'on veut dire par cette égalité c'est que ces deux choses sont égales au même nombre 5. Un peu comme notre unique carré qui s'incarnerait par ci par là en divers carré. Le nombre 5 apparaît sous divers déguisements. 3+2, 2+2+1, 5, cinquo, five, etc. Alors faudrait-il inventer un nouveau mot comme l'éducation nationale, a fait pour les triangles ? Je vous entends déjà protester ! Et si on interdisait de dire que 2+3 = 4+1. Nous voilà donc dans une situation dans laquelle nous avons envie d'utiliser le mot « égal » dans un grand nombre de contextes différents, quitte à se permettre des abus de langage. Il faut pour ça suivre le conseil d'Henri Poincaré. « Faire des mathématiques », c'est donner le même nom à des choses différentes. Ce qu'il entend par là, c'est que la force des mathématiques est de déceler des situations qui n'ont a priori rien à voir, mais qui fonctionnent de la même façon au fond des choses. Extraire un fonctionnement commun et lui donner un nom, c'est un grand pas dans la compréhension. La force de presque tous les grands concepts mathématiques est de s'interpréter un peu partout. Un seul exemple, nous utilisons les mêmes nombres pour compter des moutons, des carottes, notre âge, notre poids. C'est ce type d'abstraction qui a mené l'arithmétique et ses quatre opérations. J'utilise le même mot plus lorsque j'ajoute deux superficies ou deux poids et pourtant, il s'agit d'opérations différentes. Alors revenons au mot égal. Il y a fort longtemps que les mathématiciens, les logiciens et les philosophes ont réfléchi et ont extrait du mot égal les propriétés qui le caractérisent. Toute chose est égale à elle-même. Si une chose est égale à une autre, cette dernière est aussi égale à la première. Deux choses égales à une même troisième sont égales entre elles. Avant nous, progresser. Oui, lorsque ces trois propriétés sont satisfaites, on parle de relations d'équivalence et on s'autorise à utiliser le mot égal. Cela permet de classer en regroupant les grandeurs par paquets de choses égales qu'on appelle souvent des classes. Exemple, deux salariés ne sont pas identiques en tant qu'êtres humains, mais leurs salaires peuvent être identiques. Deux personnes ayant le même poids n'ont pas pour autant les mêmes couleurs d'yeux ou de cheveux, etc. Deux triangles superposables par un déplacement du plan ne sont pas nécessairement les mêmes. Deux Français peuvent avoir les mêmes trois premiers chiffres dans leur numéro de sécurité sociale, c'est-à-dire le même sexe et la même année de naissance, et pourtant être des Français différents. La Déclaration des droits de l'homme et des citoyens en 1789 commence par : Article 1er, Les Hommes naissent et demeurent libres et égaux en droits. Les révolutionnaires avaient les idées claires. Jamais ils n'ont prétendu que tous les hommes sont identiques. Ils ont affirmé qu'ils sont égaux en droits. Autrement dit, ils précisent ce qu'il faut entendre par ce terme. Le droit est le même pour tous. Auparavant, les classes de la relation avoir les mêmes droits étaient nombreuses. Le clergé, la noblesse, le tiers état n'étaient pas régi par les mêmes lois. La déclaration affirme qu'il n'y en a plus qu'une. Il faut lire que deux hommes sont égaux s'ils sont astreints aux mêmes lois. Il ne s'agit pas, bien sûr, d'une égalité stricte. Finalement, les dictionnaires ne sont pas si mauvais. Et il ne faut pas s'inquiéter si on trouve beaucoup de définitions pour le mot égal. Tant qu'il s'agit d'une relation d'équivalence, et qu'on a bien expliqué la définition dans chaque cas particulier, il n'y a pas grand risque à utiliser un même mot pour des choses différentes. Au contraire...
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