L’expression : « C’est mathématique » est souvent utilisée pour désigner une évidence, comme si les mathématiques se limitaient à des vérités simples. Étienne Ghys, Secrétaire perpétuel de l’Académie des sciences, déplore cette simplification, qu’il considère réductrice pour la discipline. À travers plusieurs exemples, il nous montre que les mathématiques ne se résument pas à des certitudes banales, mais qu’elles ouvrent au contraire la voie à des raisonnements profonds. En abordant des démonstrations comme celle de l’infinité des nombres premiers, il nous invite à réévaluer le spectre des mathématiques.
Étienne Ghys
Étienne, tu es mathématicien?
Étienne Ghys
Oui c'est exact, je suis mathématicien.
Étienne Ghys
Nous nous connaissons depuis très longtemps, en fait, depuis notre naissance puisque nous sommes nés au même endroit, le même jour à la même heure. Une espèce de jumeaux.
Étienne Ghys
Oui, un jumeau même si ta voix était un peu plus grave que la mienne.
Étienne Ghys
Dans cette série de podcasts, on choisit un mot ou une expression qu'on voit un peu partout dans les médias et qui peut agacer les scientifiques parce qu'il est mal utilisé. Quel est le mot que tu as choisi ?
Étienne Ghys
L'expression c'est mathématique, qu'on entend à tout bout de champ et ça m'énerve.
Étienne Ghys
Pourquoi c'est mal employé ? Donne-moi un exemple.
Étienne Ghys
Parce que ça n'a presque aucun rapport avec les maths tout simplement. On l'emploie pour dire c'est automatique ou c'est certain ou c'est inévitable. Par exemple, si un homme politique discute de l'insuffisance d'un budget, par exemple de la santé, il peut dire ça va coincer, c'est mathématique. On est quand même très très très loin des mathématiques. Un autre exemple, un tout petit peu plus mathématique : ce parti politique à 20% d'électeurs, était l'autre à 10% et à deux, ils n'ont pas la majorité, c'est mathématique. D'accord, le fait que 20 plus 10 est inférieur à 50% est en effet un fait mathématique mais franchement ce n'est pas grand chose et ça ne mérite presque pas le nom de mathématique.
Étienne Ghys
Tu exagères 20 plus 10 plus petit que 50, il n'y a pas de doute, c'est des maths non ?
Étienne Ghys
Mais c'est si élémentaire qu'on pourrait en conclure que les maths ne sont que des banalités, des évidences, des tautologies, c'est un peu réducteur, presque humiliant pour ma profession. Un autre exemple intéressant, l'usage de l'expression par les commentateurs sportifs. Une équipe de foot, les bleus par exemple, est en train de perdre 3 à 1, il reste 5 minutes de jeu et le commentateur dit "allez les bleus, mathématiquement vous pouvez gagner". Là c'est autre chose, ça ne veut plus dire, c'est évident, c'est clair, mais ça veut dire :" il n'est pas impossible que", cette deuxième interprétation est presque le contraire de la première.
Étienne Ghys
Mais revenons à tes banalités, comme tu dis, ou ces tautologies. Est-ce qu'au bout du compte, un raisonnement mathématique n'est pas toujours réduit à une suite d'évidences mises bout à bout, est-ce que ce n'est pas précisément ça une démonstration mathématique ?
Étienne Ghys
Pour simplifier, raisonner c'est mettre bout à bout des évidences qui ne peuvent être contestées par personne. Mais la force créatrice des maths réside précisément dans l'agencement des maillons de ce raisonnement. C'est un peu comme si on réduisait la littérature aux mots. Les mots c'est intéressant, mais un écrivain doit être capable de les écrire dans un certain ordre. Certains écrivains le font de manière exceptionnelle et il n'est pas nécessaire d'avoir leur talent pour apprécier leurs romans. En maths c'est pareil, certains raisonnements sont le résultat d'un travail créatif, brillant, exceptionnel, mais peuvent être appréciés par presque tout le monde. Presque, enfin, presque tous ceux qui font l'effort d'essayer de comprendre.
Étienne Ghys
Est-ce que tu peux me donner un exemple d'un raisonnement que tu trouves intéressant mathématiquement ?
Étienne Ghys
Voici un théorème qui n'est pas une évidence et dont la preuve date d'il y a plus de 2000 ans. C'est un peu l'exemple fétiche pour tous les mathématiciens. Il existe une infinité de nombres premiers. Un nombre premier est un nombre qui ne peut pas se décomposer en un produit de deux nombres plus petits. Par exemple, cinq est premier alors que neuf ne l'est pas, car c'est trois fois trois. Un nombre qui n'est pas premier est le produit de deux nombres plus petits. Si ces nombres plus petits ne sont pas premiers, alors on peut recommencer l'opération et les décomposer eux-mêmes comme des produits de nombres plus petits. Et comme les nombres en question sont de plus en plus petits, il faut bien que ça s'arrête à un moment et on a déjà démontré un petit théorème. Tout nombre entier est le produit de quelques nombres premiers. Par exemple 90, c'est 2 x 3 x 3 x 5. Alors maintenant, la liste des nombres premiers commence ainsi : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Mais est-il possible que cette suite s'arrête, qu'il n'y ait qu'un nombre fini de nombres premiers ? Ça n'est pas évident du tout et pourtant je vais démontrer que ce n'est pas le cas et qu'il y a en effet une infinité de nombres premiers. Je suis sûr que toi Étienne, tu aurais été incapable d'imaginer l'argument que je vais te montrer maintenant.
Étienne Ghys
Tu as sûrement raison.
Étienne Ghys
Mais je crois que tu vas être capable de comprendre l'argument que je vais décrire maintenant. C'est ça les maths.
Étienne Ghys
Tu me mets au défi, je n'aime pas beaucoup ça. Alors vas-y puisque tu as l'air si fier de connaître quelque chose que je ne connais pas.
Étienne Ghys
Alors voilà, je veux te montrer qu'à chaque fois qu'on te donne une liste de nombres premiers, je peux en trouver un autre qui est plus grand que tout cela. Ça montrera bien qu'il y en a une infinité, n'est-ce pas ?
Étienne Ghys
Oui. D'accord.
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