On entend souvent l’expression « c’est mathématique » pour dire qu’une conséquence est certaine, automatique ou inévitable. Pourtant, pour Étienne Ghys, cela donne une vision particulièrement réductrice de ce que sont réellement les mathématiques.
Dans cet épisode un peu particulier, le mathématicien dialogue avec lui-même pour parler démonstration, nombres premiers, créativité et de ce qui fait, au fond, la beauté d’un raisonnement mathématique.
Étienne Ghys : Étienne, tu es mathématicien ?
Étienne Ghys : Oui, c’est exact, je suis mathématicien.
Étienne Ghys : Nous nous connaissons depuis très longtemps, en fait depuis notre naissance, puisque nous sommes nés au même endroit, le même jour et à la même heure. Une espèce de jumeaux.
Étienne Ghys : Oui, des jumeaux, même si ta voix est un peu plus grave que la mienne.
Étienne Ghys : Dans cette série de podcasts, on choisit un mot ou une expression qu’on voit un peu partout dans les médias et qui peut agacer les scientifiques parce qu’il est mal utilisé. Quelle expression as-tu choisie ?
Étienne Ghys : L’expression « c’est mathématique », qu’on entend à tout bout de champ et qui m’énerve.
Étienne Ghys : Pourquoi est-ce mal employé ? Donne-moi un exemple.
Étienne Ghys : Parce que cela n’a presque aucun rapport avec les maths. On l’emploie pour dire : « c’est automatique », « c’est certain » ou « c’est inévitable ».
Par exemple, si un homme politique discute de l’insuffisance du budget de la santé, il peut dire : « Ça va coincer, c’est mathématique. » On est quand même très loin des mathématiques.
Un autre exemple, un petit peu plus mathématique : un parti politique a 20 % des électeurs, un autre 10 %, et à deux ils n’ont pas la majorité : « c’est mathématique ». D’accord, le fait que 20 + 10 soit inférieur à 50 est effectivement un fait mathématique, mais ce n’est pas grand-chose et cela ne mérite presque pas le nom de mathématiques.
Étienne Ghys : Tu exagères. 20 + 10 est inférieur à 50, il n’y a pas de doute : ce sont des maths, non ?
Étienne Ghys : Mais c’est si élémentaire qu’on pourrait en conclure que les maths ne sont que des banalités, des évidences, des tautologies. C’est un peu réducteur, presque humiliant pour ma profession.
Un autre exemple intéressant est l’usage de l’expression par les commentateurs sportifs. Une équipe de football est en train de perdre 3 à 1, il reste cinq minutes de jeu et le commentateur dit : « Allez les Bleus, mathématiquement vous pouvez gagner. »
Là, « mathématiquement » ne veut plus dire « c’est évident » ou « c’est certain », mais « il n’est pas impossible que ». Cette deuxième interprétation est presque le contraire de la première.
Étienne Ghys : Mais revenons à tes banalités ou à tes tautologies. Est-ce qu’au bout du compte, un raisonnement mathématique n’est pas toujours réduit à une suite d’évidences mises bout à bout ? Est-ce que ce n’est pas précisément cela, une démonstration mathématique ?
Étienne Ghys : Pour simplifier, raisonner, c’est mettre bout à bout des évidences qui ne peuvent être contestées par personne. Mais la force créatrice des maths réside précisément dans l’agencement des maillons du raisonnement.
C’est un peu comme si on réduisait la littérature aux mots. Les mots sont intéressants, mais un écrivain doit être capable de les placer dans un certain ordre. Certains écrivains le font de manière exceptionnelle et il n’est pas nécessaire d’avoir leur talent pour apprécier leurs romans.
En maths, c’est pareil. Certains raisonnements sont le résultat d’un travail créatif, brillant, exceptionnel, mais ils peuvent être appréciés par presque tout le monde. Enfin, presque tous ceux qui font l’effort d’essayer de comprendre.
Étienne Ghys : Est-ce que tu peux me donner un exemple d’un raisonnement que tu trouves intéressant mathématiquement ?
Étienne Ghys : Voici un théorème qui n’est pas une évidence et dont la preuve date d’il y a plus de 2 000 ans. C’est un peu l’exemple fétiche de tous les mathématiciens : il existe une infinité de nombres premiers.
Un nombre premier est un nombre qui ne peut pas se décomposer en un produit de deux nombres plus petits. Par exemple, 5 est premier alors que 9 ne l’est pas, car 9 = 3 × 3. Tout nombre qui n’est pas premier peut être décomposé en nombres plus petits. Si ces nombres ne sont pas premiers, on peut recommencer. Comme ils deviennent de plus en plus petits, il faut bien que cela s’arrête. On a déjà démontré un petit théorème : tout nombre entier est le produit de nombres premiers. Par exemple, 90 = 2 × 3 × 3 × 5.
Maintenant, la liste des nombres premiers commence par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19… Mais est-il possible que cette suite s’arrête ? Qu’il n’y ait qu’un nombre fini de nombres premiers ? Ce n’est pas évident du tout. Et pourtant, on peut démontrer qu’il y en a une infinité.
Je suis sûr que toi, Étienne, tu aurais été incapable d’imaginer l’argument que je vais te montrer.
Étienne Ghys : Tu as sûrement raison.
Étienne Ghys : Mais je crois que tu vas être capable de comprendre l’argument que je vais décrire maintenant. C’est ça, les maths.
Étienne Ghys : Tu me mets au défi, je n’aime pas beaucoup ça. Alors vas-y, puisque tu as l’air si fier de connaître quelque chose que je ne connais pas.
Étienne Ghys : Je veux te montrer qu’à chaque fois que tu me donnes une liste de nombres premiers, je peux en trouver un autre qui n’est pas dans cette liste. Cela montrera bien qu’il y en a une infinité.
Étienne Ghys : Oui, d’accord.
Étienne Ghys : C’est facile. Tu me donnes un paquet de nombres premiers. Je les multiplie et j’ajoute 1. J’obtiens un nombre, disons n, qui n’est divisible par aucun des nombres de ta liste, puisque lorsque je le divise par l’un d’entre eux, il reste 1. Et pourtant, nous avons vu que n est un produit de nombres premiers. Aucun de ces nombres premiers ne peut appartenir à ta liste. Voilà : il existe donc des nombres premiers qui ne sont pas dans ta liste. Il y a une infinité de nombres premiers. CQFD. Ça, c’est des maths.
Je n’aurais probablement jamais imaginé cette démonstration, mais je la comprends. Ça va, Étienne ? Tu as compris ? Tu veux que je répète ?
Étienne Ghys : Non, non, c’est bon. Je crois que j’ai compris. Merci de t’inquiéter pour moi. Je ne sais pas si tous nos auditeurs auront compris, on verra bien.
Étienne Ghys : Tu viens justement d’employer le mot-clé pour définir les maths : « comprendre ». Comprendre globalement un agencement de banalités placées dans un ordre qui, lui, n’est pas banal, de la même façon qu’un musicien apprécie un agencement de notes.
Étienne Ghys : Mais alors, comment fait-on pour découvrir de nouvelles démonstrations, ou plutôt pour inventer de nouvelles démonstrations ?
Étienne Ghys : C’est un peu un mystère. Certains sont très doués pour ça et d’autres moins. En maths, il existe des découvreurs, des créateurs, qui ne sont pas si nombreux. Mais il y a aussi beaucoup de commentateurs, ceux qui comprennent et améliorent les arguments pour les rendre de plus en plus transparents, j’allais dire évidents.
Cela me fait penser au mathématicien Paul Erdős, qui disait en plaisantant : « Dieu a un grand livre qui contient toutes les démonstrations et, parfois, il en montre une page à un humain. » Après sa mort, certains de ses collègues ont publié un livre intitulé Raisonnements divins, qui contient un certain nombre de ces démonstrations, un peu comme un recueil de poèmes.
Étienne Ghys : Donc, si j’ai bien compris, tu reproches à l’expression « c’est mathématique » de n’utiliser que le niveau zéro des maths, celui des banalités. Un peu comme si on disait « c’est de la littérature » en lisant une dépêche de l’AFP.
Étienne Ghys : Tu as tout compris. Bravo !
Étienne Ghys : Pour conclure, comme à tous ceux que j’interviewe, quelle musique proposerais-tu pour illustrer les mathématiques ?
Étienne Ghys : Je n’avais pas pensé à ça. Une réponse assez banale mais adaptée serait, je crois, Le Clavier bien tempéré de Jean-Sébastien Bach. Ça illustre assez bien mon histoire. C’est écrit avec des do, ré, mi, fa, sol, la, si, posés dans un certain ordre sur une partition. Mais alors, quel ordre !
Étienne Ghys : Merci beaucoup Étienne pour cet entretien. Peut-être que la prochaine fois, ce serait bien si c’était toi qui m’interviewais. Qu’en penses-tu ?
Étienne Ghys : Voilà une bonne idée ! Merci Étienne !
